Un dollar disponible dans un an vaut moins qu'un dollar aujourd'hui, et un dollar risqué vaut moins qu'un dollar certain. Presque toute la finance répond à l'une des deux questions qui découlent de ces deux faits : combien vaut un paiement futur, et combien vaut un titre risqué ? La théorie du consommateur enseignait déjà la première idée sous un déguisement. Choisir entre consommer maintenant et consommer plus tard, c'est choisir un point sur une droite de budget dont la pente est fixée par le taux d'intérêt. La finance part de là et s'avance en terrain plus difficile, celui des titres dont la valeur est incertaine.
L'appareil rassemblé ici forme le cœur d'enseignement moderne de l'évaluation des actifs. Il va de la valeur actuelle de Fisher à l'idée de Markowitz selon laquelle le risque est une propriété du portefeuille, puis au verdict du MEDAF selon lequel une seule sorte de risque est jamais rémunérée, et enfin à l'énoncé le plus général : tout prix formé sur un marché obéit à une règle d'évaluation unique. De cette règle découlent deux choses qui ressemblent à des sujets distincts : l'évaluation des options, qui se révèle n'exiger aucune prévision de rendement, et la longue querelle sur la justesse des prix.
L'histoire intellectuelle (Fisher en 1907, Markowitz en 1952, Sharpe en 1964, Black, Scholes et Merton en 1973) relève du livre Histoire de la pensée économique et n'est nommée ici qu'en passant. La chronologie de la crise relève du livre Histoire économique.
Prérequis : choix intertemporel, maximisation de l'utilité et lagrangien (chapitre 5) ; le taux d'intérêt et la discipline de non-arbitrage à l'intérieur de la contrainte budgétaire de l'État (chapitre 16). L'économétrie (chapitre 10) et le repère de l'utilité espérée (chapitre 19) aident pour la section sur l'efficience, sans être supposés acquis.
L'équation d'évaluation, le débat sur l'efficience et les intuitions sur le rendement du capital se trouvent tous ici.
La théorie du consommateur présentait l'épargne et l'emprunt comme un choix entre consommer aujourd'hui et consommer plus tard. Les deux s'échangent à un prix, le taux d'intérêt. Prêtez un dollar aujourd'hui et vous disposez un an plus tard de $(1+r)$ dollars. Pour obtenir un dollar dans un an, il faut mettre de côté $1/(1+r)$ dollars aujourd'hui. Ce rapport, $1/(1+r)$, est le prix d'un dollar futur exprimé en dollars présents, et c'est le germe de tout ce chapitre.
Voici Lena, qui vient de recevoir une indemnité qu'elle peut dépenser, épargner ou investir. Tout au long de ce chapitre, elle rencontre une à une les questions auxquelles l'appareil répond. Un contrat lui promet des paiements étalés sur plusieurs années : combien vaut-il pour elle aujourd'hui ? La réponse consiste à évaluer chaque paiement futur au prix du dollar présent, puis à les additionner.
Actualisez chaque paiement d'une suite par son propre facteur d'actualisation, puis additionnez. Pour des paiements $C_1, C_2, \dots$ arrivant aux années $1, 2, \dots$ à un taux constant $r$, la valeur actuelle est la somme des montants actualisés.
Pourquoi c’est important : Le taux d'intérêt est un taux de change entre deux monnaies, « l'argent maintenant » et « l'argent plus tard ». Un paiement lointain se convertit en monnaie présente à un taux d'autant plus défavorable qu'il est éloigné et que le taux d'intérêt est élevé, parce que la solution de rechange, mettre de l'argent de côté dès maintenant pour qu'il fructifie tout seul, devient meilleure. La valeur actuelle n'est rien d'autre que l'addition finale, une fois chaque paiement futur converti en monnaie d'aujourd'hui. Lena ne compare pas directement un paiement de l'an prochain à un paiement dans cinq ans. Elle ramène les deux à aujourd'hui, et ils deviennent comparables.
Le résultat le plus profond de Fisher est qu'une fois un marché des capitaux en place, ce dans quoi une personne doit investir n'a rien à voir avec sa patience ou son impatience. Lena et une connaissance bien moins patiente, placées devant les mêmes occasions, devraient faire le même choix d'investissement, retenir tout projet dont la valeur actuelle dépasse le coût, puis satisfaire leurs goûts différents pour la dépense présente ou future en empruntant ou en prêtant au taux du marché. Le classement objectif des investissements, maximiser la valeur actuelle, est un problème ; le profil personnel de consommation dans le temps en est un autre, résolu ensuite le long de la droite de budget.
Formellement, avec une dotation sur deux périodes et la possibilité d'emprunter et de prêter au taux $r$, le consommateur choisit sa consommation présente et sa consommation future de manière à maximiser son utilité sous la contrainte budgétaire intertemporelle. La condition du premier ordre égalise le taux marginal de substitution entre aujourd'hui et demain au rendement brut :
À l'optimum, le taux auquel le consommateur accepte d'échanger consommation présente contre consommation future égale celui qu'offre le marché. Le côté production, qui choisit l'investissement de façon à maximiser la valeur actuelle de la dotation, se résout sans faire intervenir $u(\cdot)$ : c'est là la séparation. La richesse s'écrit ici $W$ et le revenu $y$. Le symbole $m$ est réservé au §24.4.
Pourquoi c’est important : Représentez-vous la droite de budget que la théorie du consommateur traçait entre consommer maintenant et consommer plus tard, sa pente fixée par le taux d'intérêt. Un bon investissement pousse toute cette droite vers l'extérieur, ce qui rend Lena plus riche en valeur actuelle, et une droite plus éloignée vaut mieux, quel que soit son goût pour la dépense immédiate ou différée. Elle doit donc rechercher l'investissement qui repousse le plus la droite, puis se déplacer le long de la nouvelle droite jusqu'au dosage entre maintenant et plus tard qu'elle préfère, en empruntant ou en prêtant pour y parvenir. La patience décide où elle se place sur la droite ; le marché décide quelle droite elle obtient, et la valeur actuelle est ce qui lui permet de classer les droites.
Figure 24.1. La droite de budget intertemporelle. Le point de dotation est fixe. Un projet productif transfère de la richesse d'aujourd'hui vers un gain futur plus élevé, ce qui repousse toute la droite de budget vers l'extérieur dès que la valeur actuelle du projet est positive. Le taux d'intérêt en fixe la pente. Déplacez les curseurs. Le chapitre 5 du livre d'économie construit entièrement cette droite à partir des préférences.
Problème. Le taux d'intérêt vaut $r = 6\%$. (a) Un contrat verse à Lena \$1 000 à la fin de chacune des trois prochaines années. Quelle en est la valeur actuelle ? (b) Le projet A rapporte \$3 200 dans un an, le projet B \$3 600 dans trois ans. Les deux coûtent \$3 000 aujourd'hui. Selon la valeur actuelle, lequel doit-elle retenir, et son impatience change-t-elle la réponse ?
Solution.
(a) $PV = \dfrac{1000}{1.06} + \dfrac{1000}{1.06^2} + \dfrac{1000}{1.06^3} = 943.4 + 890.0 + 839.6 = \$2{,}673.0$. Les trois paiements certains valent environ \$2 673 aujourd'hui, et non \$3 000.
(b) $PV_A = 3200/1.06 = \$3{,}018.9$, net du coût $+\$18.9$. $PV_B = 3600/1.06^3 = \$3{,}022.6$, net du coût $+\$22.6$. Les deux méritent d'être entrepris. B a la valeur actuelle la plus élevée, donc le projet B l'emporte.
Par la séparation de Fisher, son impatience ne modifie pas ce classement. Si elle a besoin de liquidités plus tôt, elle retient quand même B et emprunte sur sa valeur actuelle plus élevée. La décision d'investissement, maximiser la valeur actuelle, et la décision de calendrier de consommation, emprunter ou prêter, se séparent.
L'idée que le taux d'intérêt est le prix qui noue le présent au futur, et que l'évaluation passe par l'actualisation, vient des travaux d'Irving Fisher de 1907 et 1930. Cette filiation, la manière dont le traitement marginaliste du capital et de l'intérêt a donné à la finance son point de départ, est retracée dans le chapitre du livre Histoire de la pensée économique consacré à la révolution marginaliste. Le taux d'intérêt lui-même, et la discipline de non-arbitrage qui le gouverne, sont construits au chapitre 16 sur la théorie monétaire et budgétaire.
La valeur actuelle dit ce que vaut un titre futur certain. Les titres réels, comme une action d'entreprise ou une obligation susceptible de faire défaut, ne sont pas certains. La question suivante est de savoir comment les détenir, et la réponse renverse l'instinct naturel qui consiste à chercher le meilleur d'entre eux.
La façon d'investir qui paraît raisonnable consiste à étudier les entreprises, à repérer celles dont les perspectives sont les meilleures et à y placer son argent. L'instinct de Lena la porte exactement là, dans la conviction que son portefeuille vaudra ce que valent les actifs qui le composent. Le raisonnement n'a rien de sot. Un meilleur actif offre bel et bien une meilleure affaire, et le travail d'appréciation des actifs un par un est celui qu'accomplit l'essentiel de la profession.
L'apport de Markowitz, en 1952, a été de montrer que ce cadre, sans se tromper sur les actifs pris un à un, manque l'endroit où loge vraiment le risque. Le risque d'un portefeuille dépend de la façon dont ses actifs bougent ensemble, et combiner des actifs qui ne bougent pas de concert détruit du risque dont aucun des deux ne pouvait se défaire seul. La diversification, selon sa formule, est le seul repas gratuit de la finance : une réduction du risque qui ne coûte rien en rendement espéré.
Un portefeuille est un ensemble de pondérations $w_i$ de somme égale à un, la part de la richesse placée dans chaque actif. Son rendement espéré est simplement la moyenne pondérée des rendements espérés des actifs :
La récompense se combine linéairement. Le risque, non. La variance du portefeuille comprend la variance propre de chaque actif et la covariance de chaque paire, et ce sont les termes de covariance qui font marcher la diversification :
Pour deux actifs de pondérations $w$ et $1-w$, on obtient la relation dont la dépendance à la corrélation $\rho$ fait tout l'enjeu :
Quand $\rho = 1$, le dernier terme est à son maximum et l'écart-type n'est que la moyenne pondérée $w\sigma_1 + (1-w)\sigma_2$, sans aucune réduction du risque. À mesure que $\rho$ baisse, le terme croisé se rétrécit et l'écart-type du portefeuille passe sous cette moyenne pondérée. À $\rho = -1$, les deux risques peuvent être annulés exactement. Le rendement espéré, lui, ne bouge pas. Seul le risque baisse.
Pourquoi c’est important : Deux actifs qui basculent dans le même sens au même moment ne vous protègent de rien : quand l'un est en baisse, l'autre l'est aussi, et détenir les deux n'est pas plus sûr que d'en détenir un seul. Mais si l'un tend à monter quand l'autre descend, leurs mauvais jours s'annulent en partie, et l'ensemble oscille moins que chacune de ses pièces. Vous n'avez pas choisi de meilleurs actifs pour obtenir cela. Vous avez seulement cessé de mettre tout le risque dans la même direction. La récompense, c'est-à-dire le rendement moyen, reste exactement le mélange des deux moyennes, intacte. Le risque baisse donc pendant que la récompense tient. Sur la figure ci-dessous, faites descendre le curseur de corrélation de $+1$ vers $-1$ et regardez la courbe des portefeuilles possibles s'incurver vers la gauche, du côté du moindre risque. Rien n'a changé dans les actifs ; seule leur combinaison a changé.
Parcourez tous les portefeuilles possibles à partir des actifs disponibles et les combinaisons atteignables remplissent une région de l'espace risque-rendement. Son bord supérieur gauche, là où le rendement par unité de risque est le plus élevé, est la frontière efficiente. Tout portefeuille strictement intérieur à la frontière est dominé : il en existe un autre de même risque et de rendement supérieur, ou de même rendement et de risque inférieur. Plus les corrélations entre les actifs sont faibles, plus la frontière s'incurve vers l'axe du faible risque, parce que la diversification y fait davantage.
Introduisez un actif sans risque et l'investisseur peut le mélanger à n'importe quel portefeuille risqué le long d'une droite, la droite d'allocation du capital, dont la pente est le rapport récompense/risque de ce portefeuille risqué. La meilleure droite est la plus pentue qui touche encore la frontière, et elle la touche en un seul point : le portefeuille tangent. Tous les investisseurs, prudents ou hardis, veulent ce même portefeuille risqué, et ils ne diffèrent que par la répartition entre celui-ci et l'actif sans risque. Si Lena est timide, elle prête l'essentiel de sa richesse au taux $R_f$ et ne détient qu'une petite fraction du portefeuille tangent ; si elle est hardie, elle emprunte pour en détenir davantage que sa richesse. Ni l'une ni l'autre ne détient un autre mélange risqué.
Pourquoi c’est important : Dès qu'un actif sûr est sur la table, augmenter ou réduire son risque ne consiste plus à échanger un pari risqué contre un autre. Cela revient à tourner un seul bouton : quelle part de votre argent reste au sûr, et quelle part est engagée sur le meilleur panier risqué qui existe. Et ce meilleur panier risqué est le même pour tout le monde, puisque c'est celui dont la récompense par unité de risque est la plus élevée. Les préférences n'entrent pas dans cette comparaison. Le plus difficile du placement, choisir quels actifs risqués détenir, a donc une réponse unique pour tous, et la part personnelle, jusqu'où être hardi, n'est que la position du bouton. Sur la figure, remontez le curseur du taux sans risque et regardez la droite d'allocation pivoter vers un nouveau point de tangence : ce point est le panier que tout le monde devrait détenir.
Figure 24.2. La frontière efficiente de deux actifs risqués, avec la droite d'allocation du capital tracée jusqu'à l'actif sans risque. Une corrélation plus faible incurve la frontière vers la gauche : c'est la diversification à l'œuvre. La droite issue de $R_f$ touche la frontière au portefeuille tangent que détient tout investisseur. Faites glisser le curseur de corrélation de +1 vers −1 pour voir apparaître le repas gratuit.
Problème. Deux actifs ont chacun $\sigma = 20\%$ et le même rendement espéré. Lena les détient à 50/50. Calculer l'écart-type du portefeuille pour (a) $\rho = 1$, (b) $\rho = 0$, (c) $\rho = -1$.
Solution. Avec $w = 0.5$ et $\sigma_1 = \sigma_2 = 0.20$, l'Éq. 24.5 donne $\sigma_p^2 = 0.25(0.04) + 0.25(0.04) + 2(0.25)\rho(0.04) = 0.02 + 0.02\rho$.
(a) $\rho = 1$ : $\sigma_p^2 = 0.04$, donc $\sigma_p = 20\%$, soit la moyenne pondérée, sans aucune réduction. (b) $\rho = 0$ : $\sigma_p^2 = 0.02$, donc $\sigma_p = 14.1\%$, soit un risque amputé de près d'un tiers sans rien payer. (c) $\rho = -1$ : $\sigma_p^2 = 0$, donc $\sigma_p = 0\%$ : les deux risques s'annulent exactement. Le rendement espéré est identique dans les trois cas ; seule la corrélation a bougé.
Le cadre espérance-variance de Markowitz, exposé en 1952, est l'un des résultats fondateurs de la formalisation d'après-guerre de la science économique. Sa place dans ce mouvement, aux côtés des modèles d'équilibre d'évaluation des actifs qu'il a rendus possibles, est retracée dans le chapitre du livre Histoire de la pensée économique consacré à la synthèse d'après-guerre.
Markowitz dit à un investisseur ce qu'il doit détenir. Si tout le monde résout ce même problème et détient le même portefeuille tangent, les prix des actifs ne peuvent pas être quelconques. Ils doivent s'ajuster jusqu'à ce que le marché s'équilibre.
Si la séparation en deux fonds vaut pour tout le monde, alors, à l'équilibre, le portefeuille tangent est le portefeuille de marché, le panier de tous les actifs risqués pondéré par leur valeur. Cette seule hypothèse, passée par la demande d'investisseurs qui détiennent tous le marché, produit le modèle d'évaluation des actifs financiers et sa conclusion : le rendement espéré d'un actif ne dépend que de la façon dont il bouge avec le marché.
La question suivante de Lena est concrète. Elle envisage une action isolée. Quel rendement doit-elle lui offrir pour valoir la peine d'être détenue ? Elle peut diversifier l'essentiel de la variabilité totale de cette action en la détenant à l'intérieur du portefeuille de marché, et le marché ne paie personne pour un risque dont il aurait pu se défaire gratuitement.
La relation du MEDAF énonce le rendement espéré exigé de tout actif :
où le bêta est la covariance de l'actif avec le marché, rapportée à la variance du marché :
La variance totale se décompose en une part systématique, $\beta_i^2 \sigma_m^2$, et une part idiosyncratique, $\sigma_{\varepsilon}^2$, non corrélée au marché. Seule la première porte une prime. Deux actions de variance totale identique mais de bêtas différents exigent des rendements espérés différents. Celle dont le bêta est élevé est mieux payée parce que son risque ne peut pas être diversifié, tandis que la part idiosyncratique plus grande de l'autre ne rapporte rien.
Pourquoi c’est important : La turbulence propre d'une action n'est pas ce que le marché vous paie pour supporter, puisque vous pouvez en annuler l'essentiel en détenant beaucoup d'actions à la fois, et que ce dont on se débarrasse gratuitement ne mérite aucune récompense. Ce dont vous ne pouvez pas vous débarrasser, c'est la part qui chute quand le marché entier chute. Tout le monde y est exposé en même temps, et aucune diversification n'y échappe. Cette part non diversifiable est le bêta, et c'est la seule chose qui soit rémunérée. Une action qui s'agite violemment sur ses propres nouvelles mais qui suit à peine le marché est, pour un investisseur diversifié, presque aussi bonne qu'un actif sûr, et le marché la traite ainsi. Sur la figure, faites monter le bêta d'une action et regardez son rendement exigé grimper le long de la droite ; faites varier son risque idiosyncratique et regardez le rendement exigé ne pas bouger du tout.
Figure 24.3. La droite de marché des titres et le partage du risque total. Le rendement exigé de l'action se lit sur la droite à la hauteur de son bêta. Faire varier le risque idiosyncratique change le risque total mais laisse le rendement exigé intact, parce que seule la part systématique est rémunérée. Déplacez les curseurs.
Problème. $R_f = 3\%$, la prime de marché vaut $6\%$, une action a $\beta = 1.4$. (a) Quel rendement espéré doit-elle offrir ? (b) Son écart-type total est de $30\%$ et celui du marché de $16\%$. Quelle fraction de sa variance est systématique ?
Solution.
(a) $E[R] = 0.03 + 1.4(0.06) = 0.03 + 0.084 = 11.4\%$.
(b) Variance systématique $= \beta^2\sigma_m^2 = 1.96 \times 0.0256 = 0.0502$. Variance totale $= 0.30^2 = 0.09$. Part systématique $= 0.0502/0.09 = 56\%$. Les $44\%$ restants sont idiosyncratiques et ne rapportent aucune prime. Deux actions de même risque total de $30\%$ mais de bêtas différents exigeraient des rendements différents : seule la tranche systématique est payée.
Le pas d'équilibre qui mène de la frontière de Markowitz à un modèle d'évaluation a été franchi indépendamment par William Sharpe, John Lintner et Jan Mossin au milieu des années 1960. Leur place dans la formalisation d'après-guerre de la finance est retracée dans le chapitre du livre Histoire de la pensée économique consacré à la synthèse d'après-guerre.
Le MEDAF est un modèle d'équilibre particulier, appuyé sur des préférences espérance-variance et sur une structure de marché déterminée. Il fonctionne, mais une question se tapit dessous : la droite de marché des titres est-elle une loi fondamentale des prix, ou un cas particulier de quelque chose de plus général ?
Retirez les préférences espérance-variance, le portefeuille de marché et toute autre hypothèse particulière, et il reste une prémisse qu'aucun marché en état de marche ne peut violer : deux titres qui versent la même chose dans chaque état du monde doivent coûter le même prix. Sinon, un opérateur achèterait le moins cher, vendrait le plus cher et empocherait un profit certain sans aucun risque. Cette seule prémisse, la loi du prix unique que l'arbitrage fait respecter, suffit à fixer une théorie complète des prix.
Lena demande maintenant : que vaut n'importe quel titre, action, obligation, contrat d'assurance ou pari sur le temps qu'il fera l'an prochain ? Il existe un objet unique, commun à tout le marché, qui évalue tout. Multipliez le flux aléatoire d'un titre par cet objet, prenez l'espérance, et vous avez son prix.
L'équation fondamentale d'évaluation, c'est tout l'appareil en une ligne :
Appliquée à un rendement brut $R_i = x_i/p_i$, l'équation s'écrit $1 = E[m R_i]$. En développant l'espérance d'un produit et en réarrangeant, on obtient la relation risque-rendement : le rendement espéré d'un actif en excès du taux sans risque est fixé par la covariance de son rendement avec le facteur d'actualisation.
Un actif qui verse dans les mauvais états, quand $m$ est élevé, a une covariance positive avec $m$ et donc une prime de risque négative : c'est une assurance, et les investisseurs acceptent un faible rendement pour la détenir. Un actif qui verse dans les bons états a une covariance négative avec $m$ et une prime positive. Le MEDAF en découle comme le cas particulier où $m$ est linéaire en le rendement du marché, $m = a - b R_m$ : substituez, et la covariance avec $m$ devient proportionnelle à la covariance avec le marché, c'est-à-dire exactement le bêta.
Le même prix peut s'écrire d'une seconde façon. Réemballez le facteur d'actualisation et les probabilités réelles en un nouveau jeu de probabilités $q$, et le prix devient une simple espérance actualisée au taux sans risque :
Les deux formules, actualiser avec $m$ l'espérance prise sous les probabilités physiques ou actualiser au taux $R_f$ l'espérance risque-neutre, sont le même énoncé écrit sous des probabilités différentes. La probabilité risque-neutre $q$ est une grandeur dérivée, qui se lit directement sur les prix des actifs négociés, par le non-arbitrage.
Pourquoi c’est important : Il existe un jeu unique de prix du risque sur un marché, et dès que vous le connaissez vous pouvez tout évaluer ; nul besoin d'une théorie spéciale pour les actions et d'une autre pour les options. Un dollar vaut plus, pour le marché, dans les mauvais temps que dans les bons, et ce seul fait, attaché à chaque état du monde, constitue toute la règle d'évaluation. Le modèle de la section précédente n'est qu'une manière de lire ces prix sur le rendement du marché. L'évaluation risque-neutre est la même règle réécrite de façon que les prix du risque se cachent dans les probabilités et que tout s'actualise au taux sûr. Sur la figure ci-dessous, fixez un flux sur une période et regardez deux méthodes, l'une par les chances réelles et le prix du risque, l'autre par les chances ajustées dites « risque-neutres », aboutir au même prix. Elles le doivent : c'est le même énoncé. Les chances ajustées se calculent à partir des prix de marché ; c'est le marché qui vous les donne.
Figure 24.4. Un titre à une période évalué de deux façons. Les barres montrent le prix obtenu en actualisant avec le facteur d'actualisation stochastique l'espérance prise sous les probabilités physiques, puis en actualisant l'espérance risque-neutre au taux sans risque. Les deux coïncident, parce que le non-arbitrage les y contraint. La probabilité risque-neutre implicite $q$ se déduit du prix du sous-jacent. Déplacez les curseurs.
Problème. Une action s'échange à \$100 et vaut, une période plus tard, \$120 (hausse) ou \$90 (baisse). Le taux sans risque est de $5\%$. Un titre verse \$10 si l'action monte et \$0 si elle baisse. (a) Évaluez-le en trouvant la probabilité risque-neutre, et (b) vérifiez que les prix du risque implicites sont cohérents.
Solution.
(a) La probabilité risque-neutre résout $100 = \frac{1}{1.05}(q \cdot 120 + (1-q)\cdot 90)$, d'où $105 = 90 + 30q$, soit $q = 0.5$. Le prix du titre est $\frac{1}{1.05}(0.5 \cdot 10 + 0.5 \cdot 0) = \frac{5}{1.05} = \$4.76$.
(b) Notons que $q = 0.5$ quelle que soit la probabilité réelle d'une hausse : les chances physiques ne sont jamais entrées dans le prix du titre. Elles n'interviennent que par le prix de l'action elle-même, qui les incorpore déjà. C'est ce fait même que l'évaluation des options transforme en formule complète : une fois connu le prix du sous-jacent, la valeur du titre découle du seul non-arbitrage.
L'équation d'évaluation vaut pour n'importe quel titre. Le plus difficile à évaluer en finance est une option, dont le flux se courbe de façon non linéaire avec le prix d'autre chose, et l'idée de non-arbitrage, poussée en temps continu, le résout : le rendement espéré du sous-jacent n'y entre jamais.
Une option d'achat d'une action à un prix fixé ne rapporte que si l'action monte au-dessus de ce prix, sinon elle expire sans valeur. La façon naturelle de l'évaluer serait de prévoir où va l'action, de pondérer les flux par ces chances et d'actualiser. L'intuition de Lena va dans ce sens : une action dont elle attend une envolée devrait rendre ses options d'achat chères. L'argument de Black-Scholes montre que cette intuition est fausse.
Détenez un nombre d'actions précisément choisi, financé en partie par emprunt, et rééquilibrez la position en continu à mesure que l'action bouge. Le nombre d'actions peut être choisi de façon que ce portefeuille d'action et d'obligation gagne et perde exactement ce que gagne et perd l'option, instant après instant. Si le portefeuille reproduit le flux de l'option dans chaque état, alors, par la loi du prix unique, l'option doit coûter ce que coûte la constitution du portefeuille. Aucune prévision du sens dans lequel ira l'action n'est nécessaire, seulement la recette pour la suivre.
Et cette recette dépend de l'ampleur des secousses de l'action, non du sens dans lequel on l'attend. Deux analystes en désaccord violent sur la hausse ou la baisse de l'action doivent quand même s'accorder sur le prix de l'option, pourvu qu'ils s'accordent sur sa volatilité.
Le prix Black-Scholes d'une option d'achat s'écrit :
Ici $S$ est le cours de l'action, $K$ le prix d'exercice, $r$ le taux sans risque en composition continue, $T$ le temps restant jusqu'à l'échéance, $\sigma$ la volatilité et $N(\cdot)$ la fonction de répartition normale centrée réduite. Le rendement espéré de l'action $\mu$ n'apparaît nulle part. C'est l'écho formel de l'évaluation risque-neutre du §24.4 : l'option est évaluée comme si le monde était neutre au risque, avec une actualisation à $r$, parce que le portefeuille de réplication a retiré la prime de risque.
Pourquoi c’est important : Vous pouvez bâtir un mélange mouvant d'action et d'emprunt qui imite l'option point par point : quand l'action monte vous en détenez davantage, quand elle baisse vous en détenez moins, en rééquilibrant chemin faisant. Si votre mélange maison verse exactement ce que verse l'option, il doit coûter exactement ce que coûte l'option, sans quoi quelqu'un vend le cher, achète le bon marché et empoche la différence sans rien risquer. Pour suivre l'option, il faut savoir de combien l'action vacille, car c'est cela qui fixe la fréquence et l'ampleur des rééquilibrages. Il n'est pas nécessaire de savoir dans quel sens elle va. La prévision qui semble devoir compter le plus, la hausse ou la baisse de l'action, n'entre donc pas du tout dans le prix. Toute la besogne est faite par la volatilité. Sur la figure, faites monter la volatilité et regardez l'option devenir plus chère ; cherchez où régler le rendement espéré, et vous verrez qu'il n'y a nulle part où le faire.
Figure 24.5. Le prix Black-Scholes d'une option d'achat en fonction de la volatilité, le réglage courant étant repéré. Le prix croît de façon monotone avec la volatilité. Le rendement espéré de l'action $\mu$ ne figure nulle part parmi les entrées : aucun curseur ne lui est consacré, parce que la formule ne lui fait aucune place. Déplacez les curseurs.
Problème. $S = 100$, $K = 100$, $r = 4\%$, $T = 1$ an. (a) Évaluez l'option d'achat pour $\sigma = 20\%$. (b) Réévaluez-la pour $\sigma = 40\%$ et vérifiez que le prix monte. (c) Le dirigeant de l'entreprise attend en privé un rendement de $30\%$ cette année. De combien cela change-t-il le prix ?
Solution.
(a) $d_1 = \frac{\ln 1 + (0.04 + 0.02)(1)}{0.20} = 0.30$, $d_2 = 0.10$. $N(0.30) = 0.618$, $N(0.10) = 0.540$. $C = 100(0.618) - 100 e^{-0.04}(0.540) = 61.8 - 51.9 = \$9.9$.
(b) À $\sigma = 40\%$ : $d_1 = \frac{0.04 + 0.08}{0.40} = 0.30$, $d_2 = -0.10$. $N(0.30) = 0.618$, $N(-0.10) = 0.460$. $C = 61.8 - 96.08(0.460) = 61.8 - 44.2 = \$17.6$. Doubler la volatilité a presque doublé le prix.
(c) De rien du tout. Le rendement espéré $\mu$ n'apparaît pas dans la formule de Black-Scholes. L'optimisme du dirigeant changerait ce que vaut l'action, mais non ce que vaut un contrat sur cette action rapporté à elle : le portefeuille de réplication évalue l'option à partir du seul cours actuel de l'action et de sa seule volatilité.
La formule est puissante et ses hypothèses sont fragiles. Black-Scholes suppose une volatilité constante et un rééquilibrage continu et sans coût, sur un marché qui ne saute jamais. La réalité n'offre rien de tout cela. Les prix d'options du marché révèlent eux-mêmes la tension : repassez les prix observés dans la formule et la volatilité implicite varie selon le prix d'exercice et se relève aux extrêmes, ce fameux smile, aveu permanent que l'hypothèse de volatilité constante est fausse. Et en pleine crise, la prémisse du rééquilibrage continu tombe précisément quand on en a le plus besoin : les prix sautent, la liquidité s'évanouit et les corrélations sur lesquelles comptait celui qui se couvrait filent vers un. Long-Term Capital Management l'a découvert en 1998, quand des positions quasi sans risque sous les hypothèses du modèle sont devenues ruineuses une fois ces hypothèses rompues. Le modèle donne une première réponse disciplinée et une carte claire de ses propres points de rupture. Il n'est pas prolongé ici vers la machinerie à volatilité stochastique qui tente de recoudre le smile.
Long-Term Capital Management. Ce fonds bâti autour de l'évaluation par non-arbitrage de titres obligataires et dérivés, conseillé par deux des économistes qui avaient construit la théorie de l'évaluation des options, a perdu l'essentiel de son capital en quelques semaines en 1998, quand un défaut russe a poussé les corrélations vers un et chassé la liquidité des marchés sur lesquels il opérait, ce comportement de queue que le modèle à volatilité constante ne voit pas. L'épisode montre que les mathématiques et la fragilité sont inséparables. Le chapitre sur la mondialisation et la Grande Modération du livre Histoire économique le replace dans son contexte.
La percée de Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton sur l'évaluation des options, en 1973, appartient à la vague de modélisation formelle que le livre Histoire de la pensée économique traite dans son chapitre sur la contre-révolution dans la pensée économique. Les marchés de dérivés que la formule a contribué à créer ont pris une ampleur considérable dans les décennies suivantes. Cette croissance fait partie de ce que le livre Histoire économique raconte de la mondialisation financière de la fin du XXe siècle.
Tous les modèles vus jusqu'ici supposent que les prix qui les alimentent sont sensés : que le cours de l'action contre laquelle l'option est couverte, le rendement de marché qu'utilise le MEDAF et les flux de trésorerie qu'actualise la valeur actuelle reflètent tous l'information disponible. Cette hypothèse n'a jamais été démontrée. C'est l'hypothèse d'efficience des marchés, l'affirmation la plus disputée de la discipline.
Commençons par la version la plus forte de la thèse de l'efficience. Si les prix reflètent déjà toute l'information disponible, alors aucune analyse de cette information ne peut battre systématiquement le marché, puisque tout ce qui est connaissable est déjà dans le prix. Une nouvelle fait bouger le prix immédiatement et intégralement ; ce qui vient ensuite est, par construction, imprévisible. Ce n'est pas dire que les marchés sont sages, ni que les prix sont « justes » en quelque sens cosmique. C'est dire qu'il n'y a pas d'argent gratuit qui traîne par terre, et la raison en est presque tautologique : s'il y en avait, quelqu'un l'aurait déjà ramassé, et ce geste aurait déplacé le prix jusqu'à faire disparaître l'occasion.
Prise comme hypothèse nulle, la thèse est redoutable. L'écrasante majorité des fonds gérés activement font moins bien qu'un indice passif sur tout horizon long, une fois les frais déduits. L'information publique (résultats, ratios, nouvelles) est intégrée si vite que négocier sur elle ne rapporte rien de fiable. La charge de la preuve pèse, à juste titre, sur quiconque prétend battre le marché. Lena, à l'examen des données, devrait partir en croyante de l'efficience des marchés et exiger des preuves solides pour s'en écarter.
Formellement, l'efficience exige que les rendements soient imprévisibles compte tenu de l'ensemble d'information $I_t$, au-delà de leur espérance d'équilibre :
Pour dire qu'un rendement est anormalement élevé, ce qui constitue la preuve contre l'efficience, il faut d'abord dire quel aurait été un rendement normal, ce qui exige un modèle d'évaluation des actifs. Si vous trouvez un rendement anormal, vous ne pouvez pas savoir si le marché était inefficient ou si votre modèle des rendements normaux était simplement faux. Tout test de l'efficience est un test conjoint de l'efficience et du modèle d'évaluation, et c'est pourquoi le débat ne peut pas être tranché par les seules données.
Au cours des années 1980, les chercheurs ont documenté des régularités dont le MEDAF ne pouvait pas rendre compte : les petites entreprises, les actions « de valeur » bon marché et les gagnants récents rapportaient plus que ne le prédisaient leurs bêtas. La réponse de Fama a consisté à conserver l'efficience et à enrichir le modèle. Si les petites capitalisations et les actions de valeur rapportent régulièrement davantage, peut-être portent-elles un risque systématique supplémentaire que le facteur de marché avait manqué, et le rendement supplémentaire en est le prix. Le modèle à trois facteurs de Fama-French formalise cette idée :
Pour Robert Shiller et l'école de la finance comportementale, les anomalies ne sont pas des facteurs de risque cachés mais les empreintes d'erreurs de prix : des prix qui surréagissent, qui suivent le troupeau et qui oscillent au gré du sentiment plus que ne le justifient les fondamentaux. La volatilité excessive, ce constat que les cours boursiers bougent bien plus que ne l'autorise le flux de dividendes qui suit, en est la pièce maîtresse. Et les erreurs de prix peuvent persister parce que l'arbitrage est limité.
Pourquoi c’est important : Le plus difficile, quand on juge l'efficience d'un marché, est qu'on ne peut jamais mesurer un « rendement trop élevé » sans avoir d'abord décidé quel aurait été un rendement équitable, et cette décision est elle-même une théorie qui peut être fausse. Aussi, quand les petites capitalisations ou les actions bon marché battent le marché pendant des décennies, deux explications honnêtes s'accordent avec les mêmes données. L'une dit : ces actions doivent porter un risque supplémentaire que le modèle simple a manqué, et le rendement plus élevé n'en est que le paiement. L'autre dit : le marché se trompe tout simplement sur ces prix, et l'erreur survit parce que parier contre elle est dangereux et lent. Les données seules ne peuvent pas trancher entre les deux, et c'est pourquoi la querelle est réelle et ne signale pas qu'un camp se serait embrouillé. Sur la figure, réglez les expositions d'un portefeuille et regardez le rendement supplémentaire s'imputer au risque de facteur ; puis basculez l'interrupteur et regardez le même nombre s'appeler erreur de prix. Le nombre ne change pas, seulement l'explication qu'on accepte d'en donner.
Figure 24.6. Attribution factorielle du rendement excédentaire d'un portefeuille. Les barres décomposent le rendement observé en contributions de marché, de taille et de valeur, plus un « alpha » résiduel. L'interrupteur rebaptise ce même résidu, talent ou erreur de prix (lecture comportementale) contre facteur de risque non mesuré (lecture de Fama), sans changer le nombre. Cette ambiguïté est le problème de l'hypothèse jointe. Déplacez les curseurs, puis basculez l'interrupteur.
Problème. Un fonds gagne $11\%$ en excès du taux sans risque. Ses expositions sont $\beta_M = 1.0$, $\beta_S = 0.5$, $\beta_V = 0.4$. Les primes de facteurs valent $\mathrm{MKT} = 6\%$, $\mathrm{SMB} = 2.5\%$, $\mathrm{HML} = 3.5\%$. (a) Quelle part du rendement l'exposition aux facteurs explique-t-elle ? (b) Quel est l'alpha résiduel, et quelles sont les deux interprétations concurrentes ?
Solution.
(a) Part expliquée $= 1.0(6) + 0.5(2.5) + 0.4(3.5) = 6 + 1.25 + 1.4 = 8.65\%$. L'essentiel de la surperformance apparente n'est que l'exposition à des risques rémunérés.
(b) Résidu $\alpha = 11 - 8.65 = 2.35\%$. Le problème de l'hypothèse jointe rend ce nombre non identifié : c'est soit un véritable talent, soit une erreur de prix que le fonds a captée (lecture comportementale), soit la rémunération d'un facteur de risque que le modèle à trois facteurs omet encore (lecture de Fama). Les données ne peuvent pas dire lequel ; les mêmes $2.35\%$ nourrissent les deux explications.
La question comporte trois niveaux, et les réduire à « les marchés sont à peu près efficients » fait perdre l'essentiel. D'abord, il existe un large accord sur la solidité de l'appareil d'évaluation des actifs et sur la difficulté de battre les prix : l'hypothèse d'efficience des marchés est une première approximation puissante et largement juste, et l'incapacité de la gestion active à battre les indices en est la confirmation permanente. Ensuite, il existe un large accord sur la fausseté de la forme forte : les prix ne reflètent pas tout, et le sentiment les fait bouger. Le prix Nobel 2013, décerné conjointement à Eugene Fama et à Robert Shiller, a officialisé ce double verdict, en honorant celui qui a formalisé l'efficience aux côtés de celui qui en a documenté les échecs de volatilité excessive. Enfin, et c'est le point non tranché, restent l'ampleur et le mécanisme : quelle part d'efficience survit, et si les régularités résiduelles sont des primes de risque (Fama) ou des erreurs de prix (Shiller).
Le versant comportemental de cette querelle repose sur des écarts au repère du choix rationnel (aversion aux pertes, surréaction, comportement grégaire) dont les fondations sont posées dans le chapitre sur l'économie comportementale et expérimentale du livre d'économie. La volatilité excessive et les limites de l'arbitrage qui laissent persister les erreurs de prix sont les résultats propres à la finance ; la psychologie générale de la décision en situation de risque relève de ce chapitre-là.
Les marchés peuvent aussi être « efficients » en un second sens, celui de l'efficience allocative : les prix orientent-ils le capital vers ses usages les plus productifs ? C'est une autre question que l'efficience informationnelle traitée ici. La Grande Question sur l'efficience des marchés financiers les tient séparées.
Le test de résistance public. La crise financière de 2008 est devenue le réquisitoire populaire contre les marchés efficients et contre les modèles bâtis sur eux. Des prix qui reflétaient un consensus de sécurité se sont effondrés, et les limites de l'arbitrage se sont étalées au grand jour à mesure que les erreurs de prix s'élargissaient sans que personne puisse les corriger. La chronologie de la crise, et la question de savoir dans quelle mesure les modèles eux-mêmes en portent la responsabilité, relèvent du chapitre sur la crise financière mondiale et ses suites du livre Histoire économique, ainsi que des Grandes Questions qui en débattent. 2008 est le moment où le débat sur l'efficience a quitté la salle de séminaire.
L'hypothèse d'efficience des marchés a reçu sa forme canonique d'Eugene Fama en 1970, et le foyer doctrinal de la tradition d'efficience de Chicago, avec ses critiques, est le chapitre sur la contre-révolution du livre Histoire de la pensée économique. La contestation comportementale qui s'est levée contre elle est retracée dans ce que ce même livre consacre au pluralisme moderne dans la pensée économique.
Il reste une question à Lena, et elle porte sur l'entreprise plutôt que sur le marché. Elle se demande si une société où elle pourrait investir devrait se financer par dette ou par fonds propres. La réponse de référence est que, dans un monde sans frictions, cela n'a aucune importance, et voir exactement pourquoi isole ce qui, lui, en a.
Une entreprise peut lever des fonds en émettant des actions ou en empruntant. On a le sentiment que ce choix devrait compter : la dette coûte moins cher que les fonds propres, donc se charger de dette devrait abaisser le coût du capital et élever la valeur de l'entreprise. Modigliani et Miller ont montré en 1958 que, dans un monde sans impôts, sans coûts de faillite et à information symétrique, ce choix ne change pas du tout la valeur de l'entreprise. La valeur totale de l'entreprise est fixée par les flux de trésorerie que produisent ses actifs ; la façon de découper cette valeur entre créanciers et actionnaires ne change pas la taille du gâteau.
L'argument est du pur non-arbitrage. Supposons qu'une entreprise endettée vaille plus qu'une entreprise identique sans dette. Un investisseur pourrait reproduire le flux de l'entreprise endettée en achetant l'entreprise sans dette et en empruntant sur son compte personnel dans la même proportion, ce qu'on appelle le levier fait maison, et il paierait moins cher pour le même flux de trésorerie. L'arbitrage se poursuivrait jusqu'à convergence des deux valeurs. Le levier n'apporte rien que l'investisseur ne puisse fabriquer lui-même ; il ne vaut donc rien.
Pourquoi c’est important : Une entreprise vaut ce que rapportent ses actifs. Découper ce revenu en une tranche « sûre » pour les prêteurs et une tranche « risquée » pour les actionnaires n'agrandit pas le revenu. Cela ne fait que réétiqueter qui reçoit quoi. L'investisseur qui veut plus de levier peut emprunter sur son propre compte ; celui qui en veut moins peut détenir des obligations. L'entreprise ne peut donc pas vendre du levier avec une prime, puisque chaque investisseur peut fabriquer le sien gratuitement. Le financement compte pourtant, d'ordinaire, et l'intérêt du résultat est qu'il vous dit exactement où regarder. Si la structure du capital change la valeur, c'est qu'une hypothèse du monde sans frictions a été violée, et cette violation est ce qu'il faut expliquer : un impôt qui favorise la dette, un coût de faillite qui la punit, ou un écart d'information entre les initiés et le marché. Sur la figure, montez le levier et regardez la valeur de l'entreprise rester plate, puis activez l'impôt et regardez-la grimper, activez les coûts de faillite et regardez apparaître un point optimal intérieur.
La force du résultat de neutralité est qu'il transforme toute question réelle de structure du capital en « nommez la friction ». Levez l'hypothèse d'absence d'impôt : les intérêts sont déductibles alors que les dividendes ne le sont pas, si bien que la dette crée une économie d'impôt valant à peu près le taux d'imposition multiplié par la dette, et la valeur croît avec le levier. Levez l'hypothèse d'absence de faillite : un levier élevé accroît le risque d'une détresse financière coûteuse, coût espéré qui augmente avec la dette et finit par l'emporter sur l'économie d'impôt, ce qui produit un optimum intérieur, à savoir la théorie du compromis en matière de structure du capital. Levez l'information symétrique : le choix d'émettre des actions plutôt que de la dette signale que les dirigeants jugent les titres surévalués, si bien que l'acte de financement déplace lui-même les prix, ce qui donne la théorie du financement hiérarchique. Chaque imperfection nommée correspond à une hypothèse retirée du repère des marchés parfaits, et chacune constitue un morceau distinct et bien défini de la finance d'entreprise.
Figure 24.7. La valeur de l'entreprise en fonction du levier. Impôts et coûts de faillite désactivés, la droite est plate : c'est la neutralité de Modigliani-Miller. Activez l'économie d'impôt et la valeur croît avec le levier ; ajoutez les coûts de faillite et la valeur culmine en un optimum intérieur. Chaque friction est un résultat de pertinence, activé un à la fois. Déplacez les curseurs.
Problème. Une entreprise sans dette vaut \$100M. (a) En marchés parfaits, combien vaut-elle si elle se recapitalise avec \$40M de dette ? (b) Introduisez maintenant un impôt sur les sociétés de $30\%$. Quelle est la valeur de l'entreprise endettée, et d'où vient le gain ?
Solution.
(a) $V_L = V_U = \$100$M. La recapitalisation transfère \$40M de valeur des actionnaires aux créanciers mais laisse le total intact : le levier fait maison fait qu'aucun investisseur ne paiera de prime pour le levier de l'entreprise.
(b) Avec l'économie d'impôt, $V_L = V_U + \tau D = 100 + 0.30(40) = \$112$M. Le gain de \$12M est exactement la valeur actuelle des déductions d'intérêts, une valeur créée par la subvention publique au financement par dette. Ajoutez les coûts de faillite espérés et l'entreprise s'arrêterait avant le financement intégral par dette, au niveau de levier où l'économie d'impôt marginale égale le coût de détresse marginal espéré.
Le résultat de neutralité de la structure du capital est celui de Franco Modigliani et Merton Miller, en 1958, autre clé de voûte de la formalisation d'après-guerre de la science économique, retracée dans le chapitre du livre Histoire de la pensée économique consacré à la synthèse d'après-guerre. La question de savoir si les entreprises doivent restituer des liquidités aux actionnaires par des rachats d'actions, et celle de savoir pour qui l'entreprise est dirigée, sont reprises dans les Grandes Questions sur la finalité de l'entreprise plutôt que développées ici.
Évaluer un titre futur (§24.1). Lena est partie d'une indemnité et d'un contrat promettant des paiements sur plusieurs années. Elle a actualisé chaque paiement au taux d'intérêt puis les a additionnés, convertissant « l'argent plus tard » en « argent maintenant », et elle a appris que son impatience ne changeait pas quels investissements valaient la peine, seulement la manière dont elle emprunterait ou prêterait autour d'eux.
En détenir un ou plusieurs (§24.2) ? Devant des titres risqués, son instinct la poussait à choisir la meilleure action. Markowitz l'a réorientée : le risque qui compte est celui du portefeuille, et combiner des actifs imparfaitement corrélés a réduit son risque sans rien coûter. Une fois un actif sûr ajouté, elle a découvert qu'elle devait détenir l'unique meilleur panier risqué et régler sa hardiesse par la part qu'elle en détient.
Quel rendement une action doit-elle offrir (§24.3) ? Pour une action isolée, seul son risque lié au marché, son bêta, rapportait une prime ; l'oscillation propre à l'entreprise, qu'elle pouvait diversifier, ne rapportait rien. Que vaut n'importe quel titre (§24.4) ? Sous le MEDAF, elle a trouvé la règle plus profonde : un unique opérateur de prix du risque évalue tout, et le MEDAF n'en est qu'une lecture.
Que vaut une option (§24.5) ? Elle pouvait l'évaluer en bâtissant un portefeuille qui la suit, sans avoir besoin d'autre chose que de sa volatilité. Peut-elle battre le marché (§24.6) ? Le plus souvent non : les prix sont difficiles à battre, l'affirmation en forme forte est fausse, et la nature des régularités résiduelles, risque ou erreur de prix, reste ouverte. Le financement compte-t-il (§24.7) ? Pour l'entreprise où elle pourrait investir, il est sans effet dans un monde sans frictions, et nommer la friction qui le rend pertinent est tout le sujet à partir de là.
| Libellé | Équation | Description |
|---|---|---|
| Éq. 24.1 | $PV = \sum_t C_t/(1+r)^t$ | Valeur actuelle d'une suite de flux |
| Éq. 24.2 | $\text{MRS} = 1+r$ | Optimum de Fisher à deux périodes |
| Éq. 24.3 | $E[R_p] = \sum_i w_i E[R_i]$ | Rendement espéré d'un portefeuille |
| Éq. 24.4 | $\sigma_p^2 = \sum_i\sum_j w_i w_j \sigma_{ij}$ | Variance d'un portefeuille (cœur de covariance) |
| Éq. 24.5 | $\sigma_p^2 = w^2\sigma_1^2 + (1{-}w)^2\sigma_2^2 + 2w(1{-}w)\rho\sigma_1\sigma_2$ | Frontière à deux actifs avec corrélation |
| Éq. 24.6 | $E[R_i] = R_f + \beta_i(E[R_m]-R_f)$ | MEDAF et droite de marché des titres |
| Éq. 24.7 | $\beta_i = \mathrm{Cov}(R_i,R_m)/\mathrm{Var}(R_m)$ | Bêta (risque systématique) |
| Éq. 24.8 | $p = E[m\cdot x]$ | Équation fondamentale d'évaluation (facteur d'actualisation stochastique) |
| Éq. 24.9 | $E[R_i]-R_f = -\mathrm{Cov}(m,R_i)/E[m]$ | Décomposition risque-rendement par le facteur d'actualisation |
| Éq. 24.10 | $p = \frac{1}{1+R_f}E^Q[x]$ | Évaluation risque-neutre |
| Éq. 24.11 | $C = S\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ | Option d'achat Black-Scholes ($\mu$ absent) |
| Éq. 24.12 | $E[R_{t+1}-E(R_{t+1}\mid I_t)\mid I_t]=0$ | Condition d'imprévisibilité de l'EMH |
| Éq. 24.13 | $E[R_i]-R_f = \beta_M\mathrm{MKT}+\beta_S\mathrm{SMB}+\beta_V\mathrm{HML}$ | Modèle à trois facteurs de Fama-French |
| Éq. 24.14 | $V_L = V_U$ | Proposition I de Modigliani-Miller |
Littérature citée : Fisher (1907, 1930) ; Markowitz (1952) ; Sharpe (1964) ; Lintner (1965) ; Mossin (1966) ; Black & Scholes (1973) ; Merton (1973) ; Cochrane (2005), Asset Pricing ; Fama (1970) ; Fama & French (1993) ; Shiller (1981) ; Shleifer & Vishny (1997) ; Modigliani & Miller (1958).