第10章的计量经济学建立在一个从不明说的假设之上：观测值是从一个固定总体中独立抽取的。把处理随机化，找到一个工具变量，利用一处断点，余下的就交给为渐近理论提供依据的独立同分布抽样。可是宏观经济学家或金融研究者真正打交道的数据，大多不是这样到来的。它们是按顺序到来的。季度GDP、月度通胀、隔夜政策利率、每日股票收益率：每一个观测值都紧挨着它在时间上的邻居，而上一季度发生的事，是决定这一季度的原因之一。
这一顺序把后面的一切都改变了。序列相关意味着相邻观测值携带重叠的信息，因此有效样本比数据点的个数所暗示的更小，而横截面OLS的标准误公式会低估不确定性。更糟的是，许多经济序列带有趋势，几十年里一路向上游走，没有一个可供回复的固定中心。对两条这样的序列做一次普通回归，可能得到很高的 $R^2$ 与一个决定性的 $t$ 统计量，把两个毫不相干的量联系在一起。在有顺序的数据上，横截面工具箱的效率会下降。在带趋势的数据上，它制造出并不存在的关系。
需要的是另一套分析工具，围绕一个问题组织起来：是什么样的过程生成了这条序列？一旦有多条序列同时在场，还有第二个多元问题：是哪些冲击推动了这个系统，我们究竟能不能说得出来？对第一个问题的回答，从平稳性出发，经ARMA模型走到单位根检验。对第二个问题的回答，从向量自回归出发，走到它的结构解释，在那里数据描述的是变量如何一同变动，却从不说出谁先动。
为什么这很重要： 按时间排列的数据记得自己的过去，而忽略这一顺序的方法会把人引入歧途。把今年的GDP当作一次独立抽样的回归，其实是在把同一段缓慢的漂移反复读了一遍又一遍，还把它当成了证据。认真对待顺序，意味着先弄清一条序列究竟会回落到某个中心，还是永远游走下去，再弄清当几条序列一起变动时，究竟是哪一条在推。
前置知识：第10章（计量经济学基础）的识别框架、OLS与关于序列相关的说明；线性代数，因为VAR是矩阵值的；基本概率论。随机过程的直觉在本章中建立。
下面这些方法并非一向属于经济学。整个1970年代，这门学科学会了认真对待时间维度，主要靠的是克莱夫·格兰杰与罗伯特·恩格尔关于长期关系与波动率的工作，以及克里斯托弗·西姆斯关于多元动态的工作。他们的纲领重塑了宏观经济学家处理数据的方式。这条思想谱系，也就是这些想法是在与谁交锋的过程中成形的，属于经济思想史卷，在其论述信息经济学与博弈论时代的一章中有专门梳理。
在拟合任何模型之前，序列必须先是模型能够描述的那类对象。组织这一切的观念是平稳性。平稳过程是指其概率性质随时间保持稳定的过程，样本开头生成数据的机制与样本末尾相同。如果这一点成立，过去对未来就是有信息的，而这种信息性本身不会移动。如果不成立，被估计的参数瞄准的就是一个移动的靶子。
滞后算子把动态变成了代数。多项式 $\phi(L)=1-\phi_1 L-\cdots-\phi_p L^p$ 作用在 $y_t$ 上，用一个符号编码了整个自回归，而这个过程平稳当且仅当 $\phi(z)=0$ 的根都落在单位圆之外。当某个根恰好落在单位圆上时，平稳性失效，这就是 §23.3 的单位根。
式中 $\{\varepsilon_t\}$ 是白噪声，$\psi_j$ 是满足 $\psi_0=1$ 的平方可和权重，$\kappa_t$ 是 $y_t$ 中可以由自身过去完全预测的那一部分，比如一个确定性趋势或季节项。权重的平方可和性使方差保持有限，它也正是“旧冲击的影响会消退”这句话的形式化内容。
为什么这很重要： 平稳过程是统计性质不发生漂移的过程。沿着序列滑动一个窗口，窗内的图景看上去是一样的。从头十年估出的均值与从最后十年估出的一致，典型波动的幅度自始至终相同，今天与上个月的关联有多强也不取决于是哪一个月。白噪声是最纯粹的情形，纯粹的意外，没有记忆。而沃尔德的结果说，其他每一条性质良好的序列都不过是这些意外冲击汇成的一股水流，旧的冲击随新的到来而消退。下图可以看到一条序列被系在自己的均值上，也可以把它推向系绳绷断的那个边缘。
图23.1. 平稳与非平稳过程探索器。一条模拟的AR(1)路径 $y_t = \delta + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$ 及其样本均值。$\phi$ 较小时，序列紧贴自己的均值，是平稳的。当 $\phi \to 1$ 时，它游走得更远，回来得更慢。在 $\phi = 1$ 处它变成随机游走，没有均值回复，冲击是永久性的（§23.3 的边界情形）。把滑块拖过 $\phi = 1$；切换漂移项；重新生成冲击以确认这一行为是普遍的。
一旦确认一条序列是平稳的，下一个问题就是如何为它建模。序列记住自己过去的两种最基本的方式，合起来构成了同一个模型族。
平稳序列是有记忆的，而写下它记住了什么有两种干净的方式。它可以把自己过去的取值带到当期，于是上一季度的高产出抬高本季度的预期产出。它也可以把过去冲击的回声带到当期，一次冲击要经过几期才作用完。前者是自回归，后者是移动平均。把两者结合起来，就得到单变量时间序列的基准模型。
ACF与PACF是博克斯-詹金斯建模方法的诊断工具，而让它们有用的那条规则，是两者衰减方式上的对照。纯AR过程的PACF在滞后 $p$ 之后急剧截尾，因为一旦控制住前 $p$ 阶滞后，再往后就没有任何东西能增加预测信息，而它的ACF则逐渐拖尾。纯MA过程是它的镜像，ACF在滞后 $q$ 之后截尾，PACF则拖尾。截尾与拖尾之别，正是实践者从数据上读出模型阶数的办法。
用ARMA模型作预测，直接由滞后算子的代数推出。一步预测把未来的扰动设为其期望值零，再把估计出的系数向前滚动。多步预测就是这一递推的迭代，而由于过程是平稳的，随着预测期变长，预测值收敛到无条件均值 $\mu$，预测误差方差则上升到无条件方差。
为什么这很重要： AR序列把自己的过去带到当期，于是今天的水平是昨天的一个褪色副本。MA序列把过去冲击的回声带到当期，一次冲击响上几期就没了。两者留下的印记不同，而两张诊断图正是用来读取这些印记的：对AR过程，偏自相关图会陡然掉到零，而普通的自相关图则慢慢拖尾，对MA过程则正好反过来。预测因此不需要任何新想法。既然没有新的冲击可以指望，对遥远未来的最佳猜测就是长期平均值，而模型会告诉我们多快能走到那里。把下面的滑块设成纯AR，就能看到其中一张图猛地归零，换成纯MA，另一张图就会这么做。
图23.2. ARMA(1,1) 模拟器，含样本ACF与PACF。设成纯AR(1)（$\theta_1=0$）：PACF在滞后1处有一根尖峰而后截尾，ACF则按几何速度拖尾。设成纯MA(1)（$\phi_1=0$）：ACF在滞后1处有一根尖峰而后截尾，PACF则拖尾。截尾与拖尾之别就是博克斯-詹金斯识别规则。拖动滑块。
以上都假定序列是平稳的。诊断图、预测、系数的含义，每一样都依赖于有一个可以回复的中心和一个有限的方差。当序列两者皆无时，会发生什么？
把AR(1)系数一路推到1，§23.2 的整套方法就失灵了。序列不再有一个可以回复的中心。图23.1 拖过 $\phi = 1$ 时直接显示了这一点。低于1时序列被系着，冲击会衰减。恰好等于1时系绳断了，冲击变成永久性的。这个边界情形就是随机游走，它之所以在宏观经济学中占据主导地位，是因为太多序列的表现都像它。
单位根不能被忽略，原因在于它为普通回归设下的陷阱。取两条彼此完全独立生成的随机游走。把其中一条对另一条做回归，出现很高的 $R^2$ 与一个轻松越过任何常规门槛的 $t$ 统计量的频率，远高于纯属偶然时应有的水平。回归给出的结论是，两条毫无共同之处的序列之间存在很强的关系。这就是格兰杰与纽博尔德在1974年警告过的伪回归结果，它推翻了“高 $R^2$ 加上显著的 $t$ 就意味着有什么真东西”这一直觉。
在 $H_0:\gamma=0$ 之下，水平项 $y_{t-1}$ 就消失了，$\Delta y_t$ 只由自身的滞后差分与噪声驱动，这就是单位根。拒绝 $H_0$ 而接受 $\gamma<0$，意味着对水平的偏离会被部分地拉回来，也就是序列是平稳的。那些滞后差分项就是所谓的“增广”，用来吸收 $\varepsilon_t$ 中的序列相关，使检验有效。滞后阶数 $k$ 由信息准则选定。
为什么这很重要： 随机游走没有把它拉回去的引力。平稳序列被一根绳系着，把它拉离中心，它就会弹回来。随机游走则没有任何东西把它往家里拉，于是今天的一次冲击永远不会被冲刷掉，序列就随着累积起来的冲击走到哪里算哪里。单位根意味着冲击是永久的。两个各自被放出去的游走者，在一段长样本上都会漂到某个地方，而任何两样会漂的东西看上去都像是相关的，因为穿过那片散点的直线总要朝某一边倾斜。回归于是会报告两条毫无瓜葛的序列之间有很强的关系。补救办法是先问对问题，用正式的单位根检验判断这条序列是被系着还是在游走，并且研究游走者时看它的变化（差分）而不是它的水平。在下图中重新生成那两条彼此独立的游走，就能看到一段“显著”的关系一次次从虚无中冒出来。
图23.3. 伪回归演示器。两条用独立冲击生成的随机游走画在一起，读数报告其中一条对另一条的OLS回归及其 $R^2$ 与 $t$ 统计量。反复重新生成，就能看到高 $R^2$ 与“显著”的 $t$ 在一次次独立抽取中反复出现，这个陷阱是系统性的。把回归切换到一阶差分，表面上的关系随即瓦解。重新生成；在水平值与差分之间切换。
主线案例。美国实际GDP是随机游走吗？对它的对数拟合一个AR(1)，估计出的系数非常接近1；做ADF检验，通常无法拒绝单位根原假设。实际的结论是，产出用增长率（一阶差分）建模比用水平值建模更合适。
到目前为止都是一次一条序列。宏观经济问题通常关乎同时存在的几条序列，比如产出与通胀，或者利率与汇率，它们一起变动。单方程工具可以推广成一个系统。
大多数有意思的宏观经济问题涉及不止一个变量。通胀与政策利率彼此响应，产出、价格与货币作为一个系统一同变动。向量自回归就是AR模型在这一情形下的自然推广。把变量叠成一个向量，让每个变量都依赖于所有变量的近期过去。
由于每个方程的解释变量相同，都是所有变量的滞后项，逐方程使用OLS就是有效的，简化式并不需要系统估计量。估计出的 $A_i$ 矩阵与残差协方差 $\Sigma$ 概括了系统的动态。
简化式VAR几乎不费力气就给出两样东西。它把整个系统联合起来作预测，而且往往优于结构模型，因为它施加的约束很少。它还检验格兰杰因果关系，指出哪些序列对哪些序列有预测能力。脉冲响应与方差分解看上去还许诺了第三样东西，即一段关于冲击之后发生了什么的解释。但扰动 $\mathbf{u}_t$ 在各方程之间是相关的。通胀残差的一次移动，往往伴随着利率残差的一次移动。那么当系统“对一次冲击作出反应”时，那是谁的冲击？简化式说不出来。
为什么这很重要： VAR让每个变量都依赖于其他所有变量的近期过去。这立刻带来两样东西：整个系统的联合预测，以及关于哪条序列有助于预测哪条序列的检验，也就是所谓的“格兰杰因果关系”。有助于预测不等于引起。知道冰淇淋销量有助于预测溺水人数，并不意味着冰淇淋导致溺水，是夏天同时驱动了两者。VAR可以指出政策利率有助于预测通胀，这很有用，但它止步于此，不会说利率推动了通胀。它之所以止步，是因为不同方程中的意外是一起到来的，彼此缠在一处，于是“系统对一次冲击的反应”在把冲击解开之前一直是含混的。这个解开的过程，就是识别问题。
图23.4. VAR／SVAR脉冲响应探索器。一个两变量系统：通胀与政策利率，即主线案例中的货币VAR。选择冲击哪一个变量，面板就会显示两个变量的动态响应。格兰杰因果与方差分解的读数随之更新。在 §23.5 中，翻转乔利斯基排序，就能看到脉冲响应改变形状：同样的数据，不同的识别假设，不同的经济解释。选择冲击；设定期数；切换排序。
刚刚生成的那些脉冲响应，假定了一个排序，也就是关于期内哪个变量能推动另一个变量的一项选择。这项选择是悄悄作出的。把它摆到明面上，就是结构化的那一步，而数据在这里不再能够终结争论。
简化式残差是相关的，这个相关性就是问题所在。一次经济冲击，比如一次出人意料的货币紧缩，本应是一个含义明确的单一扰动。可是利率方程的简化式扰动，被同一瞬间推动通胀的任何东西污染了，反过来也是如此。残差是掺在一起的。要还原出背后的结构冲击，就必须说明它们是怎样掺到一起的，而数据并不包含这一信息。
对一个两变量系统，$\Sigma=BB'$ 提供三个方程，即两个方差与一个协方差，而 $B$ 有四个元素。缺一个约束。把它施加上去就是识别，而期数为 $h$ 的脉冲响应 $\Theta_h = A^h B$ 会继承所施加的一切。
常用的约束有三类，而图23.4 让人能亲身体会最常用的那一类带来的后果。把乔利斯基排序在“利率在前”与“通胀在前”之间切换，脉冲响应的形状明显改变。数据里什么都没变：同样的残差，同样估计出的动态。变的是关于期内哪个变量能推动另一个变量的假设，而这个假设改写了整套经济解释。像乔利斯基这样的短期零约束是一种选择。长期约束是另一种，它假定某个冲击对某个变量没有永久影响，布兰查德与奎对需求冲击与供给冲击的分解是标准例子。符号约束则是现代的替代方案，它报告的是识别集，而不是一条曲线。
这里正是这一领域内部意见分歧的地方。把VAR引入宏观经济学的克里斯托弗·西姆斯认为，旧式结构模型那一整套精心设计的识别约束是“不可信的”，是为了便于处理而强加的假设，因此诚实的实证宏观应当在尽可能少的约束下让数据说话。相反的观点认为，没有一定的经济结构，脉冲响应就无法解释，因此正确的做法是施加自己能够辩护的约束，并且把它们说清楚。两种立场都是严肃的，而刚才用到的那个开关，恰恰就是它们的分歧所在：数据究竟能诚实地支撑多少识别，以及对剩下的那个缺口该怎么办。
无理论的VAR与结构识别究竟哪一方在这一领域占了上风，这一结论在关于计量方法论可信性的导读中有详细论证。
为什么这很重要： 数据交到手里的是彼此相关的冲击。通胀中的意外与利率中的意外缠在一起到来。要讲出一套经济解释，就必须说明在同一期内箭头指向哪一边：是利率先动、通胀随后，还是相反？这支箭头必须由经济学提供，因为数据给不出来。数据只显示两者一同变动。就是这一条额外加上去、数据又无法检验的假设，决定了整个答案。在图中翻转排序，数据集里的每一个数字都没有变，解释却整个翻了过来。西姆斯担心的是，经济学家把自己无法辩护的箭头偷偷塞了进去，还把结果称作发现。另一派则说，箭头是躲不掉的，那就选一支自己能辩护的，并且明明白白地说出来。
到目前为止的系统都建立在平稳序列或差分之后的序列上。但差分可能丢掉某种真实的东西。当两条序列一同游走时，取它们的变化会抹掉把它们拴在一起的那层关系。协整就是把它找回来的办法。
回想一下伪回归的警告。两个彼此独立的游走者看上去有关系，补救办法是研究它们的差分。但有时两个游走者是真的被拴住的，不是各自被拴在一个固定均值上，而是彼此拴在一起。短期利率与长期利率在几十年里都在漂移，两者之间的利差却始终留在一个区间内。消费与收入各自向上带有趋势，两者之比却是稳定的。对这样一对序列作差分，恰恰会把真正要紧的长期关系一并差分掉。协整就是用来处理这种关系确实存在的情形的工具。
如果误差修正系数 $\lambda = -0.2$，那么对长期关系的任何偏离，每期有五分之一被抵消。如果 $\lambda = 0$，就没有任何拉力，两条序列根本不协整，那个所谓的“关系”正是 §23.3 中的伪造品。格兰杰表示定理让这一切站得住脚。它保证只要真正的协整存在，误差修正模型就是写下其动态的正确方式，因此估计ECM是顺理成章的做法。约翰森方法把这一想法推广到可能含有多个均衡关系的系统，其秩检验回答的正是有几个。
为什么这很重要： 两条序列可以各自永远游走，却从不彼此拉开距离，就像两条没拴牵引绳，却被一根短绳拴在一起的狗。各走各的，绳子不让它们之间的距离变大。两者之间的这段距离就是长期均衡，而它们偏离时绳子把它们扯回来的速度，就是误差修正项。这与伪回归陷阱恰好相反：那里两个游走者只是看上去有关系，这里它们确实有关系，绳子是真的。前面的建议是研究游走者之前先作差分，但如果对一对被拴住的序列作差分，就等于剪断了绳子，恰恰丢掉了本来想看的那样东西。下图把绳子的松紧做成了滑块。松到零时，两条序列各自自由飘开。随着绳子收紧，两者之间的间距会落进一个平稳的区间，而每条序列仍然在各自游走。
图23.5. 协整／误差修正探索器。两条 I(1) 序列共享一个共同的随机趋势，第二个面板显示两者之差 $z_t = y_t - x_t$。当 $|\lambda|=0$ 时，这个差值本身也在游走，两条序列并不协整。随着 $|\lambda|$ 上升，对长期关系的偏离被更快地拉回，差值明显变得平稳。拖动误差修正速度；重新生成冲击。
到目前为止建模的都是条件均值，也就是序列预计会走到哪里。而条件方差，即这个预期有多不确定，本身也有一套可以预测的节律。
看一长串每日股票收益率，还没拟合任何模型，有一个特征就已经跳了出来。动荡是成团出现的。小幅波动的平静时段被大幅波动的风暴时段打断，而风暴会持续数日甚至数周才恢复平静。收益率本身接近不可预测，这正是有效市场会让人预期的，但它们的幅度并非如此。大波动与大波动聚在一起。这就是条件方差模型当初要刻画的那个典型化事实。
在 GARCH(1,1) 中，$\alpha_1+\beta_1$ 之和衡量持续性，决定一次波动率冲击衰减得有多慢，而无条件方差 $\omega/(1-\alpha_1-\beta_1)$ 只有在 $\alpha_1+\beta_1<1$ 时才有限。用每日股票数据估计出的持续性常常高于 $0.95$，意味着波动率的一次骤升要很久才会平息，这正是“动荡会赖着不走”的经验内容。
为什么这很重要： 明天的收益率是涨是跌，是预测不了的。如果预测得了，这笔交易早就被人做过了，预测也就被抹平了。但明天是平静的一天还是狂野的一天，是可以预测的，因为平静与狂野各自成团。今天市场动荡，就说明接下来几天也很可能动荡，尽管这丝毫没有说出波动会朝哪个方向走。意外的方向不可预测，意外的幅度却可预测，这一分野正是这些模型背后的想法。今天的一次大波动会推高明天的预期波幅，而当这种反馈很强时，风暴一旦开始就会持续很久。下图有一个持续性旋钮。把它调低，序列看上去就是毫无特征的噪声。把它拨向1，就能看到平静时段与动荡时段自行组织成长长的涌浪，不用任何方程也看得出来。
图23.6. GARCH(1,1) 波动率聚集探索器。上面板是一条模拟的收益率序列，下面板是生成它的条件波动率 $\sigma_t$。持续性较低（$\alpha_1+\beta_1$ 较小）时，收益率看上去像同方差噪声。当持续性接近1时，平静期与动荡期明显成团，波动率曲线呈现出长长的涌浪。滑块会保证 $\alpha_1+\beta_1<1$ 始终成立。拖动持续性旋钮；重新生成冲击。
基本的 GARCH(1,1) 衍生出一族改进形式，每一种都修补一处局限。EGARCH对方差的对数建模，因而能刻画“杠杆效应”，即坏消息比同等幅度的好消息更能抬高波动率，而且不需要非负约束。均值GARCH（GARCH-M）让条件方差直接进入收益率方程，把“风险高时投资者要求更高的预期收益率”这一想法形式化。这些扩展是实证金融的日常词汇。再往前，是高维VAR的贝叶斯估计，以及用于波动率与预测的机器学习方法，那已经是前沿了。
| 标签 | 方程 | 描述 |
|---|---|---|
| 公式23.1 | $E[y_t]=\mu,\ \mathrm{Var}(y_t)=\sigma^2,\ \mathrm{Cov}(y_t,y_{t-k})=\gamma_k$ | 协方差平稳性条件 |
| 公式23.2 | $y_t = \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\varepsilon_{t-j} + \kappa_t$ | 沃尔德分解 |
| 公式23.3 | $y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t$ | AR(p) |
| 公式23.4 | $y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q\varepsilon_{t-q}$ | MA(q) |
| 公式23.5 | $\phi(L)y_t = \theta(L)\varepsilon_t$ | 滞后算子形式的ARMA |
| 公式23.6 | $y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t$（带漂移项 $+\,\delta$） | 随机游走 |
| 公式23.7 | $\Delta y_t = \alpha + \gamma y_{t-1} + \sum\delta_i\Delta y_{t-i} + \varepsilon_t;\ H_0:\gamma=0$ | 增广迪基-富勒回归 |
| 公式23.8 | $\mathbf{y}_t = \mathbf{c} + A_1\mathbf{y}_{t-1} + \cdots + A_p\mathbf{y}_{t-p} + \mathbf{u}_t$ | 简化式VAR(p) |
| 公式23.9 | $\mathbf{u}_t = B\boldsymbol{\varepsilon}_t,\ E[\boldsymbol{\varepsilon}_t\boldsymbol{\varepsilon}_t']=I$ | SVAR映射（残差到结构冲击） |
| 公式23.10 | $\Theta_h = A^h B$ | 期数 $h$ 上的结构脉冲响应 |
| 公式23.11 | $z_t = y_t - \beta x_t \sim I(0)$，当 $y_t, x_t \sim I(1)$ 时 | 协整关系 |
| 公式23.12 | $\Delta y_t = \lambda(y_{t-1}-\beta x_{t-1}) + \cdots + \varepsilon_t$ | 误差修正模型 |
| 公式23.13 | $\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2$ | ARCH(q) 条件方差 |
| 公式23.14 | $\sigma_t^2 = \omega + \sum\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 + \sum\beta_j\sigma_{t-j}^2$ | GARCH(p,q) 条件方差 |
Wold（1938）；Box & Jenkins（1970）；Granger & Newbold（1974）；Dickey & Fuller（1979）；Engle（1982）；Sims（1980）；Bollerslev（1986）；Engle & Granger（1987）；Blanchard & Quah（1989）；Johansen（1991）；Hamilton（1994）；Stock & Watson（2001）；Enders（2014）。