第8章构建了入门宏观经济学的主力模型：用于短期波动的IS-LM模型和用于价格水平决定的AD-AS模型，全部在代数层面。本章用微积分重建这些模型，并加入索洛增长模型及其微观基础化扩展（拉姆齐模型）。核心做法是微观基础化：从家庭和企业的优化行为中推导宏观经济关系。
IS曲线将从跨期欧拉方程而非假定的消费函数中推导出来。投资将遵循具有凸调整成本的托宾 q理论。菲利普斯曲线将获得预期机制，并最终预览从垄断竞争和价格粘性推导出的新凯恩斯版本。索洛增长模型获得完整的微积分处理，包括微分方程和相图分析，为第13章的拉姆齐模型做准备。
全章的数学水平是微积分：拉格朗日乘数法、一阶条件、欧拉方程、基本微分方程和相图分析。我们明确不使用Hamilton函数、Bellman方程或动态规划；那些留待第13–14章。
前置知识：第8章（IS-LM、AD-AS、代数层面的Solow模型），第6章（Lagrange乘数法、受约束优化）。数学前置知识：单变量微积分、受约束优化、基本微分方程。
本章的微观基础与本书的四个大问题相连。每个节点出现在相应模型发展之后的小节。
在第8章中，我们使用了凯恩斯消费函数$C = C_0 + c(Y - T)$，其中边际消费倾向$c$是一个介于0和1之间的行为参数。这个函数讲述了一个简单的故事（家庭将当期收入的固定比例用于消费），但它存在两个深层问题。第一，它将$c$视为常数，但经验证据表明消费反应取决于收入变化是暂时性的还是永久性的、是预期中的还是意外的。第二，参数$c$与更深层的偏好没有联系：我们无法说明当利率上升、人口老龄化或不确定性增加时它如何变化。
微观基础方法从第一性原理出发：一个具有明确偏好的家庭在预算约束下最大化终身效用。边际消费倾向不再是假定的，它是从优化过程中推导出来的，取决于利率、收入持续性、时间偏好和风险厌恶。这就是现代宏观经济学的方法论精髓。
考虑一个存活两期的家庭。它在第1期获得收入$y_1$，在第2期获得收入$y_2$。它可以按实际利率$r$储蓄或借贷。家庭选择消费$c_1$和$c_2$以最大化终身效用：
其中$u(\cdot)$是严格凹的递增效用函数，$\beta \in (0,1)$是贴现因子。家庭面临跨期预算约束：
这说明了什么： 家庭选择现在消费多少、以后消费多少，以便在终生财富约束（终生支出现值不超过终生收入）的条件下最大化终生效用。
为什么这很重要： 这取代了凯恩斯关于人们花费固定比例当期收入的机械假设。消费取决于终身财富：临时奖金大多被储蓄，而永久性加薪则会被消费。这是永久收入假说的基础。
切换到完整模式可查看推导过程。从几何上看，公式9.1在$(c_1, c_2)$空间中定义了一条斜率为$-(1+r)$的直线。禀赋点$(y_1, y_2)$始终位于这条线上。当$r$增加时，预算约束绕禀赋点顺时针旋转：储蓄变得更有吸引力。
预算约束是一条直线：今天不花的每一美元以利率$r$增长，明天可供使用。当利率上升时，这条线倾斜：等待的回报增加，使储蓄更有吸引力。家庭的收入点始终位于这条线上，并在其上选择最佳消费组合。
一阶条件为：$u'(c_1) = \lambda$和$\beta \, u'(c_2) = \lambda/(1+r)$。相除消去乘子$\lambda$：
这说明了什么： 拉格朗日函数只是一个记账工具。它将家庭的目标（最大化消费带来的效用）与约束条件（不能超支）结合起来。乘数λ衡量多一元终生财富能带来多少额外效用。
为什么这很重要： 建立拉格朗日方程是经济学家推导欧拉方程（随之而来的关键结论）的方法。乘数lambda也有直接的解释：它是财富的影子价格，告诉你家庭对一笔小额意外之财的估价有多高。
什么发生变化： 当利率上升时，lambda下降，因为每一元财富能购买更多未来消费，财富的边际价值下降。当家庭变得更急于消费（beta更低）时，lambda上升，因为财富更有价值——你想更快花掉它。
在完整模式下，方程9.2展示了产生欧拉方程的拉格朗日函数和一阶条件。这说明了什么： 在最优状态下，家庭对今天多消费一元与储蓄这一元完全无差异。储蓄能赚取利息（1+r），但未来要打折扣（急于消费因子β）。家庭在这两种力量之间取得平衡，直到立即消费的边际收益等于等待的边际收益。
为什么这很重要： 欧拉方程是现代宏观经济学中最重要的方程。它支配着消费时机选择：当利率上升时，家庭将支出推迟到未来。当他们变得更有耐心（beta更高）时，他们今天储蓄更多。每一个现代宏观模型，从DSGE到新凯恩斯，都建立在这一条件之上。
切换到完整模式可查看推导过程。这是宏观经济学中最重要的方程之一。它表明：在最优状态下，家庭对于多消费一单位和将其储蓄、赚取$1+r$的利息、明天消费$1+r$单位之间是无差异的。如果$\beta(1+r) > 1$，家庭将消费倾向于未来：$c_2 > c_1$。如果$\beta(1+r) < 1$，家庭提前消费：$c_1 > c_2$。
宏观经济学中最常用的效用函数是常相对风险厌恶（CRRA）族：当$\sigma > 0, \sigma \neq 1$时$u(c) = \frac{c^{1-\sigma} - 1}{1-\sigma}$，当$\sigma = 1$时$u(c) = \ln c$。这里$\sigma$是相对风险厌恶系数，$1/\sigma$是跨期替代弹性（IES）。在CRRA效用下，欧拉方程变为：
这说明了什么： 在CRRA偏好下，未来与当期消费之比取决于利率和急于消费程度。参数sigma控制家庭跨期转移消费的意愿。sigma高意味着他们强烈偏好平滑消费，对利率变化几乎没有反应。
为什么这很重要： 这一方程决定了加息是否会促使家庭多储蓄（替代效应）或多消费（收入效应）。答案取决于σ，这就是为什么σ是宏观经济学中争论最多的参数之一。
切换到完整模式可查看推导过程。当$\sigma = 1$（对数效用）时，$c_2/c_1 = \beta(1+r)$。更高的利率提高消费增长率，弹性由$1/\sigma$决定。
两期模型将PIH作为定理推导出来。在对数效用且$\beta(1+r) = 1$（即$c_1 = c_2 = c$）的条件下，预算约束给出$c = \frac{1+r}{2+r}(y_1 + y_2/(1+r))$。暂时性收入增加只会使消费增加约一半；永久性增加则几乎一对一地提高消费。
欧拉方程假设可以按利率$r$自由借贷。当借贷限制约束生效（$c_1 \leq y_1$）时，消费跟随当期收入，暂时性收入的MPC趋近于1，恰好就是凯恩斯消费函数。这解释了为什么凯恩斯模型对受流动性约束的家庭（约占人口的30–50%）是有效的。
图9.1. 两期消费模型。当利率变化时，预算约束绕禀赋点旋转。最优组合满足欧拉方程。
考虑一个具有对数效用$u(c) = \ln c$的家庭，收入$y_1 = 100$，$y_2 = 50$，实际利率$r = 0.10$，贴现因子$\beta = 0.95$。
第1步：拉格朗日函数。$\mathcal{L} = \ln c_1 + 0.95 \ln c_2 + \lambda[100 + 50/1.10 - c_1 - c_2/1.10]$。终身财富：$W = 100 + 45.45 = 145.45$。
第2步：欧拉方程。在对数效用下，$u'(c) = 1/c$，因此$c_2/c_1 = \beta(1+r) = 0.95 \times 1.10 = 1.045$。
第3步：求解。$c_2 = 1.045\,c_1$。预算约束：$c_1 + 1.045\,c_1/1.10 = 145.45 \implies 1.950\,c_1 = 145.45 \implies c_1^* = 74.59$，$c_2^* = 77.95$。
第4步：验证。预算：\$14.59 + 77.95/1.10 = 145.45$。✓ 欧拉：\$17.95/74.59 = 1.045 = \beta(1+r)$。✓
第5步：储蓄。$s = y_1 - c_1^* = 100 - 74.59 = 25.41$。家庭储蓄是因为当期收入超过消费平滑水平。
第6步：比较静态。如果$r$升至0.20，则$\beta(1+r) = 1.14$，所以$c_2/c_1 = 1.14$。更高的利率将消费倾向于未来。在对数效用（IES $= 1$）下，替代效应占主导，$c_1$下降。
第8章的IS曲线是$Y = A - br$：当期产出取决于自主支出$A$和利率$r$，对未来的预期不起作用。欧拉方程改变了这一点。我们将两期模型推广到多期并进行对数线性化。在CRRA效用和参数$\sigma$下，定义$\hat{c}_t = \ln c_t - \ln \bar{c}$和$\rho = 1/\beta - 1$：
这说明了什么： 当期消费取决于预期未来消费以及利率与家庭急于消费率之间的差距。当利率超过急于消费程度时，家庭推迟消费（消费随时间增长）。
为什么这很重要： 这一对数线性化形式是新凯恩斯IS曲线的基础模块。它使预期成为核心：如果家庭预期未来会更好，他们今天就花更多。这种前瞻性行为是现代宏观与凯恩斯交叉图的区别所在。
切换到完整模式可查看推导过程。在封闭经济中$Y_t = C_t$，定义产出缺口$x_t = \hat{y}_t - \hat{y}_t^n$和自然利率$r^n$：
这说明了什么： 当期产出缺口取决于预期未来产出缺口和实际利率相对于其自然水平的差值。当央行将利率设置在自然利率以上时，会压制当期需求；当利率低于自然利率时，则刺激需求。
为什么这很重要： 与第8章的IS曲线不同，这条IS曲线具有前瞻性。对未来的预期直接影响今天的支出。对未来刺激的可信承诺即使在刺激到来之前就能提高今天的产出。这就是为什么央行沟通和前瞻性指引很重要。
切换到完整模式可查看推导过程。这与第8章的IS曲线有根本性的不同：(1) 预期至关重要。$E_t x_{t+1}$意味着当期产出取决于家庭对未来的预期。(2) 实际利率是事前利率$i_t - E_t \pi_{t+1}$。(3) 斜率取决于$\sigma$。$\sigma$越大，IS曲线越陡。
图9.2. 微观基础IS曲线与教科书IS曲线的比较。教科书IS曲线不对预期未来产出做出反应；微观基础IS曲线随预期变动。
从前瞻性IS（公式9.6）出发，假设$\sigma = 1$，$E_t \pi_{t+1} = 2\%$，$r^n = 3\%$，$E_t x_{t+1} = 0$。则：$x_t = -(i_t - 0.05)$。
若$i_t = 0.07$：$x_t = -0.02$（产出低于潜在水平2%）。若$i_t = 0.03$：$x_t = 0.02$（产出高于潜在水平2%）。这看起来类似教科书IS曲线。
现在改变预期。假设$E_t x_{t+1} = 0.03$（可信的未来财政扩张）。则：$x_t = 0.03 - (i_t - 0.05)$。在$i_t = 0.07$时：$x_t = 0.01$（产出现在高于潜在水平）。对未来繁荣的预期刺激了当期支出。教科书IS曲线完全忽略了这一渠道。
第8章假设投资是利率的递减函数：$I = I_0 - br$。微观基础理论必须解释企业为什么投资、投资多少、以及多快调整资本存量。
这说明了什么： 持有一台机器一个时期的成本等于放弃的利息（本可将这笔资金投资于别处）加上折旧（机器磨损）。企业持续投资，直到机器的产出恰好覆盖这一租用成本。
为什么这很重要： 这解释了为什么高利率会扼杀投资：它们提高了新项目必须跨越的门槛利率。加速折旧或投资税收抵免等税收政策通过降低有效使用成本来发挥作用。
切换到完整模式可查看推导过程。企业投资直到资本的边际产出等于使用成本：$MPK = uc$。但这并没有说明调整的速度。在无摩擦的世界中，企业会瞬间跳到理想的资本存量，这与事实不符。
这说明了什么： 托宾q将企业资本的股市估值与重新购买该资本的成本进行比较。如果q超过1，市场对现有资本的估值高于重置成本，值得建造更多。如果q低于1，购买现有企业比建造新产能更便宜。
为什么这很重要： 这将华尔街与实体经济联系起来。股市繁荣提高q并刺激实际投资。股市崩溃降低q并冻结资本支出。你可以从股票价格中直接读取投资信号。
切换到完整模式可查看推导过程。在凸调整成本下，一阶条件给出：
这说明了什么： 投资与q超过1的程度成比例，但调整成本减慢了反应速度。调整成本参数φ越高，企业对投资机会的反应就越缓慢。这解释了为什么投资对新闻的反应是迟缓的。
为什么这很重要： 如果没有调整成本，企业会立即跳到最优资本存量，这不现实。凸性成本意味着企业将投资分散到一段时期，从而产生我们在数据中看到的平滑、驼峰形的投资反应。
切换到完整模式可查看推导过程。投资-资本比率是$q$的线性函数，斜率为$1/\phi$。当$q = 1$时，投资恰好为零。股市繁荣提高$q$并触发更高的投资；股市崩盘降低$q$并抑制投资。
图9.3. 托宾 q与投资。投资率是q的线性函数；调整成本是凸的。
一家企业有$K = 100$，$p_K = 1$，市场价值$V = 130$，调整成本$\phi = 5$。
第1步：$q = V/(p_K \cdot K) = 130/100 = 1.30$。
第2步：$I/K = (q-1)/\phi = 0.30/5 = 0.06$。计划投资：$I = 6$。
第3步：调整成本：$C(I) = (5/2)(0.06)^2 \times 100 = 0.90$。总成本：\$1 + 0.90 = 6.90$。
第4步：股市繁荣。\$V \to 160 \Rightarrow q = 1.60\$，\$I/K = 0.12\$，\$I = 12\$。调整成本：\\$1.60\$，增加了四倍（凸性）。由于凸调整成本，投资对新信息的反应是渐进的。
第8章在代数层面介绍了索洛模型。这里我们给出完整的微积分处理：微分方程、相图和黄金律优化。
假设Cobb-Douglas生产函数$Y = K^\alpha (AL)^{1-\alpha}$，其中$A$以速率$g$增长，$L$以速率$n$增长。定义$k = K/(AL)$和$y = Y/(AL)$：
这说明了什么： 经济储蓄产出的一部分s，并用其建造新资本。但人均资本会随着时间推移而侵蚀：机器磨损（折旧）、人口增长（需要装备更多工人），以及技术进步（提高了人均有效资本的门槛）。当储蓄超过侵蚀时经济增长，反之则萎缩。
为什么这很重要： 这一微分方程是索洛模型的引擎。它告诉你经济总是会收敛到储蓄恰好抵消侵蚀的稳态。低于稳态的国家增长快；接近稳态的国家增长慢。这就是条件收敛，增长经济学中最可检验的预测。
切换到完整模式可查看推导过程。令$\dot{k} = 0$：
这说明了什么： 稳态资本存量取决于经济的储蓄率（s）相对于资本侵蚀速度（n + g + δ）的比率。储蓄率更高或人口增长更慢的国家，在稳态时更富裕。
为什么这很重要： 这是索洛模型对为什么有些国家富裕而另一些国家贫穷的回答。但这个回答是不完整的。经过校准的模型仅靠资本差异只能解释收入差异的2-3倍，而富裕国家与贫穷国家之间的实际差距超过50倍。其余部分必须由技术和制度来解释。
切换到完整模式可查看推导过程。图9.4. 索洛相图。稳态k*是全局稳定的：箭头从两侧指向它。
读图：上方面板显示两条曲线。蓝色曲线（sf(k)）表示经济体在每个人均资本水平上的储蓄和投资量，起初急剧上升，但由于边际报酬递减而趋于平缓。橙色直线（(n+g+delta)k）显示仅为保持人均资本不下降所需的投资量，计入折旧、人口增长和技术进步。两线交叉点即为稳态：经济体自然趋向此处。下方面板显示变化率：k*以下为正（资本增长），k*以上为负（资本收缩），证实稳态是稳定的。试着拖动储蓄率滑块，观察更高的储蓄率如何使蓝色曲线上移并将稳态向右移动。
什么储蓄率使稳态消费最大化？$c^*(s) = (1-s)(s/(n+g+\delta))^{\alpha/(1-\alpha)}$。在黄金律处：
什么储蓄率最大化稳态消费？这里存在权衡：储蓄更多提高资本存量和产出，但留下可供消费的产出更少。黄金律找到最佳点：
这说明了什么： 存在一个"恰到好处"的储蓄率，能够最大化长期消费。储蓄太少，就无法积累足够的资本。储蓄太多，则是在将资源倾入边际报酬递减不足以证明牺牲合理的资本。最优点等于产出中资本的份额（α）。
为什么这很重要： 如果一国的储蓄率超过黄金律水平，则存在动态无效率：每个人在每个时期都可以通过少储蓄来消费更多。大多数现实经济体的储蓄率似乎低于黄金律水平，意味着提高储蓄率能增加未来消费，但代价是过渡期间消费减少。
切换到完整模式可查看推导过程。这说明了什么： 经济以约每年5-6%的速度缩小与稳态的差距，意味着半衰期约为12年。一个人均资本仅为稳态一半的国家，大约12年后会走完一半的收敛路程。
为什么这很重要： 这预测了条件收敛：相对于自身稳态较穷的国家应该比富国增长更快。在控制了储蓄率、人口增长和教育之后，这一预测与跨国数据相当吻合。但收敛速度慢到需要数十年而非数年。
切换到完整模式可查看推导过程。半衰期为$t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$。对于$\alpha = 1/3$，$n = 0.02$，$g = 0.015$，$\delta = 0.05$：$\lambda = 0.0567$，$t_{1/2} \approx 12.2$年。
在典型参数值下，经济每年大约弥合到稳态剩余差距的5-6%。这意味着半衰期大约是12年：一个从稳态一半距离出发的国家大约十年内会弥合剩余距离的一半。
图9.5. 索洛黄金律。稳态消费在$s = \alpha$时最大化。
参数：$\alpha = 1/3$，$n = 0.02$，$g = 0.015$，$\delta = 0.05$。收支平衡线：$n+g+\delta = 0.085$。
第1步：$k^*(s) = (s/0.085)^{3/2}$。
第2步：黄金律。$s_g = \alpha = 1/3$。则$k_g = (0.333/0.085)^{1.5} = 7.76$，$y_g = 1.98$，$c_g = 1.32$。
第3步：凯拉尼（$s = 0.15$）。$k^* = (0.15/0.085)^{1.5} = 2.35$，$y^* = 1.33$，$c^* = 1.13$。
第4步：由于$s = 0.15 < s_g = 0.333$，凯拉尼是动态有效的，但远低于黄金律。通过提高储蓄率，消费可以增加17%，但代价是转型期间消费降低。
弗里德曼-费尔普斯的关键洞见：菲利普斯曲线必须包含预期通胀：
这说明了什么： 通货膨胀等于预期通胀加上产出缺口带来的提升，再加上供给冲击。当经济过热（产出高于潜在水平）时，通胀高于预期。当经济疲软时，通胀低于预期。
为什么这很重要： 弗里德曼-菲尔普斯革命：通胀与失业之间不存在永久性权衡。你可以通过制造意外通胀来暂时降低失业率，但一旦预期调整，你就会回到自然失业率，只是通胀更高了。将失业率持续保持在自然率以下的唯一方式是不断加速通胀，这是一条不可持续的道路。
切换到完整模式可查看推导过程。代入得：$\Delta \pi_t = \alpha (Y_t - Y^*)/Y^* + \varepsilon_t$。
如果人们预期通胀等于上期的通胀率，那么菲利普斯曲线就简化了：重要的是通胀的变化，而非其水平。让经济过热不只是导致通胀，它导致通胀加速。
这说明了什么： 在适应性预期下，通胀的变化量（而非其水平）取决于产出缺口。将产出维持在潜在水平以上不仅会导致通胀，还会导致通胀加速，每期通胀都高于上期。
为什么这很重要： 这就是加速主义假说。它意味着长期菲利普斯曲线是垂直的：与稳定通胀相容的产出水平只有潜在产出。政策制定者无法以持续更高（但稳定）的通胀换取永久性的更低失业率。
切换到完整模式可查看推导过程。在长期，$\Delta \pi = 0$要求$Y = Y^*$：长期菲利普斯曲线在自然率处是垂直的。通胀与产出之间不存在长期权衡。
在理性预期和完全可信度下，反通胀可以是无成本的：牺牲率为零。在适应性预期下，牺牲率很大。沃尔克反通胀（1979–1983年）的牺牲率约为2.5，与部分前瞻性、主要后顾性的预期一致。
图9.8. 预期增广菲利普斯曲线。短期菲利普斯曲线随预期通胀移动；长期曲线是垂直的。
经济处于$\pi = 8\%$，目标$\pi = 2\%$。菲利普斯曲线斜率$\alpha = 0.5$。
适应性预期。$\pi^e_t = \pi_{t-1}$。要每年降低通胀1个百分点：$-0.01 = 0.5 \cdot x_t \Rightarrow x_t = -0.02$。六年内产出低于潜在水平2%。累计损失：GDP的12%。牺牲率：\$12/6 = 2.0$。
理性预期且具有可信度。$\pi^e$跳至2%。当$x_t = 0$时：$\pi_t = 2\%$。无成本反通胀。牺牲率：0。
现实（沃尔克，1979-83年）：约4年，牺牲率$\approx 2.5$。部分前瞻性（一定的可信度），主要后顾性（工资和合同的惯性）。
这说明了什么： 在开放经济中，IS-LM增加了两条新渠道：汇率影响净出口（贸易渠道），利率差异驱动资本流动（金融渠道）。国际收支要求贸易逆差必须由资本流入来融资，反之亦然。
为什么这很重要： 这就是蒙代尔-弗莱明模型，开放经济政策分析的主要工具。它揭示了财政政策还是货币政策有效，完全取决于汇率制度。在固定汇率下，财政政策有效，但货币政策无能为力。在浮动汇率下，情况恰好相反。
切换到完整模式可查看推导过程。财政政策有效：IS右移 → $r$趋于高于$r^*$ → 资本流入 → 央行卖出本币 → LM内生右移 → $Y$上升。
Fiscal policy is effective: With the exchange rate pegged, the central bank has to print or absorb money to hold the peg. So when a fiscal push starts to lift interest rates, the money supply gets pulled along to keep the rate at the world level. Fiscal policy rides a free monetary tailwind.
货币政策无效：LM右移 → $r$降至$r^*$以下 → 资本流出 → 央行买入本币 → LM移回原位。$Y$不变。
Monetary policy is ineffective: Try to cut rates and money floods out chasing the higher world rate. Defending the peg forces the central bank to buy all that money back. You end up exactly where you started — the peg eats your monetary policy.
财政政策无效：IS右移 → $r$趋于高于$r^*$ → 资本流入 → 本币升值 → NX下降 → IS移回原位。$Y$不变。
Fiscal policy is ineffective: There is no peg to defend, so the capital chasing higher rates pushes the currency up instead. The strong currency makes exports dear and kills net exports, cancelling the fiscal boost. Here the exchange rate does the crowding-out that interest rates do in a closed economy.
货币政策有效：LM右移 → $r$降至$r^*$以下 → 资本流出 → 本币贬值 → NX上升 → IS右移 → $Y$上升。
Monetary policy is effective: A rate cut weakens the currency; exports get cheaper abroad, demand rises, and output climbs. Monetary policy works precisely through the exchange rate channel that the peg shut off.
图9.6. 蒙代尔-弗莱明模型。财政政策在固定汇率下有效；货币政策在浮动汇率下有效。
图9.7. 不可能三角。一个国家必须在三者中选择两个：自由资本流动、固定汇率、独立的货币政策。
A部分。固定汇率。凯拉尼与TAD挂钩，$r_K = r^* = 5\%$。财政扩张$\Delta G = 0.5$B KD。
机制：IS右移 → $r$趋于高于$r^*$ → 资本流入 → 央行卖出KD/买入TAD → 货币供给扩大（LM右移）→ $Y$升至约12.5B KD。财政政策有效。
B部分。浮动汇率。相同的财政扩张。
机制：IS右移 → $r$上升压力 → 资本流入 → KD升值 → NX下降 → IS移回原位。$Y$几乎不变。财政政策无效：通过汇率渠道被挤出。
启示：在钉住汇率制下，凯拉尼拥有财政政策但没有货币政策。不可能三角：自由资本流动+固定汇率=没有独立的货币政策。
预期增广菲利普斯曲线假设产出缺口与通胀之间存在直接关系，但没有解释为什么。要使通胀反应具有粘性，我们需要两个要素：设定价格的企业（市场力量）和它们不连续调整的原因（粘性）。
每家企业面临向下倾斜的需求曲线，并将价格定为边际成本的加成$\mu = \varepsilon/(\varepsilon - 1)$，其中$\varepsilon$是Dixit-Stiglitz替代弹性。
每家企业都有一定的市场势力（它的产品与竞争者略有不同），所以它能在生产成本之上加成。产品之间替代性越低，企业能维持的加成就越高。
每期有$(1 - \theta)$比例的企业重新设定价格，而$\theta$比例的企业保持不变。当$\theta = 0.75$时，平均价格持续时间为4个季度。最优重置价格：
Each period, only a slice of firms get to repost their prices — like a row of restaurants that reprint their menus on a random schedule rather than all at once. A firm that does reset cannot wait for the next chance, so it prices for where it expects costs to be over the whole stretch until its turn comes round again. That staggering is what makes the overall price level move slowly.
这说明了什么： 今天的通胀取决于预期未来通胀和当期产出缺口。能够重置价格的企业具有前瞻性：他们根据预期成本走势而非过去成本来设定价格。斜率kappa衡量通胀对需求压力的敏感程度。
为什么这很重要： 这是后顾性菲利普斯曲线的微观基础替代版本。由于它具有前瞻性，对未来低通胀的可信承诺会立即降低今天的通胀。这就是为什么央行公信力很重要：一个可信的通胀目标能够锚定预期，并压平短期权衡。完整的新凯恩斯模型（第15章）建立在这一方程之上。
切换到完整模式可查看推导过程。参数$\kappa = \frac{(1-\theta)(1-\beta\theta)}{\theta} \cdot \gamma$取决于价格粘性$\theta$、贴现因子$\beta$和边际成本对产出缺口的敏感度$\gamma$。当$\theta$较大时，$\kappa$较小，通胀对产出缺口的反应较弱。
菲利普斯曲线的斜率取决于价格有多粘。当企业很少有机会改变价格（高粘性）时，通胀对需求压力的反应微弱：即使繁荣的经济也几乎不动通胀。当企业频繁调整价格时，通胀对产出缺口反应剧烈。
NKPC与后顾性菲利普斯曲线有根本区别：通胀取决于预期未来通胀，而非过去的通胀。对低未来通胀的可信承诺会立即降低$\pi_t$。完整的三方程NK模型将在第15章介绍。
凯拉尼共和国（人口500万，GDP约100亿KD，来自第5章；IS-LM基准来自第8章）面临两个相互交织的挑战：选择汇率制度和提高长期增长以缩小与邻国塔拉尼的差距。
汇率制度（蒙代尔-弗莱明）。凯拉尼维持与塔拉尼元（TAD）的固定钉住，资本完全自由流动（$r_K = r_T = 5\%$）。政府计划进行$\Delta G = 0.5$B KD的财政扩张。在固定汇率下，蒙代尔-弗莱明模型预测扩张是有效的：IS右移，资本流入导致LM内生右移，$Y$升至约12.5B KD。在浮动汇率下，同样的扩张将被本币升值所抵消。
央行行长指出："在钉住汇率制下，我们有财政政策但没有货币政策。如果我们想独立降息，比如在塔拉尼未受影响的衰退期间，我们做不到。"这就是不可能三角：自由资本流动+固定汇率=没有独立的货币政策。
长期增长（微积分版索洛模型）。两个经济体：\$\alpha = 1/3\$，\$n = 0.02\$，\$g = 0.015\$，\$\delta = 0.05\$。凯拉尼（\$s = 0.15\$）：\$k^* = 2.35\$，\$y^* = 1.33\$。塔拉尼（\$s = 0.25\$）：\$k^* = 5.04\$，\$y^* = 1.71\$。预测收入比率：\\$1.78\$。实际观测值：\\$1.50\$。差距大于索洛模型的预测：全要素生产率差异（制度、人力资本）很重要，这为第13章和第18章埋下伏笔。
凯拉尼是动态有效的（$s = 0.15 < s_g = 0.333$），但远低于黄金律。收敛速度：$\lambda = 0.0567$，半衰期$\approx 12.2$年。
微观基础消费。一个凯拉尼家庭获得$y_1 = 2{,}000$ KD的收入，预期$y_2 = 2{,}400$ KD，$r = 5\%$，$\beta = 0.95$。欧拉方程给出$c_2^*/c_1^* = 0.9975 \approx 1$：近乎完美的平滑。家庭在第1期借入约195 KD，因为它预期未来收入更高。200 KD的一次性刺激大部分被储蓄；每期200 KD的永久补贴则几乎全部被消费。
本章结束时的状态：凯拉尼的宏观框架现已具有微观基础（欧拉方程、微积分版索洛模型、蒙代尔-弗莱明）。固定汇率制约束了货币政策。储蓄率低于黄金律。索洛模型只能部分解释收入差距。线索延续至第13章（拉姆齐增长模型）、第15章（NK货币政策）和第18章（制度）。
| 标签 | 方程 | 描述 |
|---|---|---|
| 公式9.1 | $c_1 + \frac{c_2}{1+r} = y_1 + \frac{y_2}{1+r}$ | 跨期预算约束 |
| 公式9.2 | $\mathcal{L} = u(c_1) + \beta u(c_2) + \lambda[\cdots]$ | 拉格朗日函数（两期） |
| 公式9.3 | $u'(c_1) = \beta(1+r)\,u'(c_2)$ | 消费欧拉方程 |
| 公式9.4 | $(c_2/c_1)^\sigma = \beta(1+r)$ | CRRA欧拉方程 |
| 公式9.5 | $\hat{c}_t = E_t\hat{c}_{t+1} - (1/\sigma)(r_t - \rho)$ | 对数线性化欧拉方程 |
| 公式9.6 | $x_t = E_tx_{t+1} - (1/\sigma)(i_t - E_t\pi_{t+1} - r^n)$ | 前瞻性IS曲线 |
| 公式9.7 | $uc = (r + \delta)p_K$ | 资本使用成本 |
| 公式9.8 | $q = V / (p_K \cdot K)$ | 托宾q |
| 公式9.9 | $I/K = (q - 1)/\phi$ | 最优投资 |
| 公式9.10 | $y = k^\alpha$ | 每有效工人产出 |
| 公式9.11 | $\dot{k} = sk^\alpha - (n+g+\delta)k$ | 索洛资本积累ODE |
| 公式9.12 | $k^* = [s/(n+g+\delta)]^{1/(1-\alpha)}$ | 索洛稳态 |
| 公式9.13 | $f'(k_g) = n + g + \delta$ | 黄金律条件 |
| 公式9.14 | $s_g = \alpha$ | 黄金律储蓄率 |
| 公式9.15 | $\lambda = (1-\alpha)(n+g+\delta)$ | 收敛速度 |
| 公式9.16 | $\pi_t = \pi^e_t + \alpha(Y_t-Y^*)/Y^* + \varepsilon_t$ | 预期增广菲利普斯曲线 |
| 公式9.17 | $\pi^e_t = \pi_{t-1}$ | 适应性预期 |
| 公式9.18 | $\Delta\pi_t = \alpha(Y_t-Y^*)/Y^* + \varepsilon_t$ | 加速主义菲利普斯曲线 |
| 公式9.19 | $Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$ | 开放经济IS |
| 公式9.20 | $NX(e) + KA(r - r^*) = 0$ | BP曲线 |
| 公式9.21 | $r = r^*$ | 完全资本流动 |
| 公式9.22 | 三元悖论约束 | 不可能三角 |
| 公式9.23 | $\pi_t = \beta E_t\pi_{t+1} + \kappa x_t$ | 新凯恩斯菲利普斯曲线 |
| 公式9.24 | $p_t^* = \mu + (1-\beta\theta)\sum(\beta\theta)^j E_t[mc_{t+j}]$ | 卡尔沃最优重置价格 |
相关文献：Fisher（1930）；Ramsey（1928）；Friedman（1957）；Hall（1978）；Modigliani & Brumberg（1954）；Tobin（1969）；Hayashi（1982）；Solow（1956）；Swan（1956）；Phelps（1966）；Friedman（1968）；Phelps（1967）；Lucas（1972）；Mundell（1963）；Fleming（1962）；Calvo（1983）；Galí（2015）。
第四部分预告：计量经济学给你检验模型的工具。高级微观为第五部分的一切奠定基础。