Kapitel 8 hat die Standardmodelle der einführenden Makroökonomik aufgebaut: das IS-LM-Modell für kurzfristige Schwankungen, AD-AS für die Preisniveaubestimmung, alles auf Algebraebene. Dieses Kapitel baut diese Elemente mit Analysis neu auf und fügt das Solow-Wachstumsmodell mit seiner mikrofundierten Erweiterung (dem Ramsey-Modell) hinzu. Der zentrale Schritt ist die Mikrofundierung: die Herleitung makroökonomischer Beziehungen aus dem optimierenden Verhalten von Haushalten und Unternehmen.
Die IS-Kurve wird aus einer intertemporalen Euler-Gleichung hervorgehen statt aus einer angenommenen Konsumfunktion. Die Investitionen werden aus Tobins q-Theorie mit konvexen Anpassungskosten folgen. Die Phillips-Kurve erhält einen Erwartungsmechanismus und schließlich eine Vorschau auf die neukeynesianische Herleitung aus monopolistischem Wettbewerb und starren Preisen. Das Solow-Wachstumsmodell erhält eine vollständige analytische Behandlung mit Differentialgleichungen und Phasendiagrammen, die den Boden für das Ramsey-Modell in Kapitel 13 bereiten.
Das mathematische Niveau durchgehend ist Analysis: Lagrange-Funktionen, Bedingungen erster Ordnung, Euler-Gleichungen, grundlegende Differentialgleichungen und Phasendiagrammanalyse. Wir verwenden ausdrücklich keine Hamilton-Funktionen, Bellman-Gleichungen oder dynamische Programmierung; diese sind den Kapiteln 13–14 vorbehalten.
Voraussetzungen: Kapitel 8 (IS-LM, AD-AS, Solow auf Algebraebene), Kapitel 6 (Lagrange-Funktionen, beschränkte Optimierung). Mathematische Voraussetzungen: Analysis einer Variablen, beschränkte Optimierung, grundlegende Differentialgleichungen.
Die Mikrofundierungen dieses Kapitels verbinden sich mit vier der großen Fragen des Buches. Jede Verzweigung erscheint nach dem Abschnitt, in dem das relevante Modell entwickelt wird.
In Kapitel 8 haben wir die keynesianische Konsumfunktion $C = C_0 + c(Y - T)$ verwendet, bei der die marginale Konsumquote $c$ ein Verhaltensparameter zwischen null und eins war. Diese Funktion erzählt eine einfache Geschichte (Haushalte geben einen festen Anteil ihres laufenden Einkommens aus), aber sie hat zwei grundlegende Probleme. Erstens behandelt sie $c$ als Konstante, aber empirische Evidenz zeigt, dass Konsumreaktionen davon abhängen, ob Einkommensänderungen vorübergehend oder dauerhaft, erwartet oder überraschend sind. Zweitens hat der Parameter $c$ keinen Bezug zu tieferen Präferenzen: Wir können nicht sagen, wie er sich ändert, wenn die Zinssätze steigen, die Bevölkerung altert oder die Unsicherheit zunimmt.
Der mikrofundierte Ansatz beginnt bei den Grundprinzipien: Ein Haushalt mit wohldefinierten Präferenzen maximiert den Lebensnutzen unter einer Budgetbeschränkung. Die marginale Konsumquote wird nicht mehr angenommen, sie wird aus der Optimierung hergeleitet und hängt von Zinssätzen, Einkommenspersistenz, Zeitpräferenz und Risikoaversion ab. Dies ist die methodische Essenz der modernen Makroökonomik.
Betrachten Sie einen Haushalt, der zwei Perioden lebt. Er verdient Einkommen $y_1$ in Periode 1 und $y_2$ in Periode 2. Er kann zu einem realen Zinssatz $r$ sparen oder Kredite aufnehmen. Der Haushalt wählt den Konsum $c_1$ und $c_2$, um den Lebensnutzen zu maximieren:
wobei $u(\cdot)$ eine strikt konkave, steigende Nutzenfunktion ist und $\beta \in (0,1)$ der Diskontfaktor ist. Der Haushalt unterliegt der intertemporalen Budgetbeschränkung:
Was das besagt: Ein Haushalt wählt, wie viel er jetzt im Vergleich zu später konsumiert, um seinen Lebenszeit-Nutzen zu maximieren, unter der Nebenbedingung, dass die gesamten Lebenszeit-Ausgaben (in Gegenwartswerten) das gesamte Lebenszeit-Einkommen nicht übersteigen dürfen.
Warum das wichtig ist: Dies ersetzt die mechanische keynesianische Annahme, dass Menschen einen festen Anteil des laufenden Einkommens ausgeben. Stattdessen hängt der Konsum vom Lebenszeit-Vermögen ab: Ein vorübergehender Bonus wird größtenteils gespart, während eine dauerhafte Gehaltserhöhung ausgegeben wird. Dies ist die Grundlage der permanenten Einkommenshypothese.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Geometrisch definiert Gl. 9.1 eine Gerade im $(c_1, c_2)$-Raum mit Steigung $-(1+r)$. Der Ausstattungspunkt $(y_1, y_2)$ liegt immer auf dieser Geraden. Wenn $r$ steigt, dreht sich die Budgetgerade im Uhrzeigersinn um den Ausstattungspunkt: Sparen wird attraktiver.
Die Budgetbeschränkung ist eine gerade Linie: Jeder Dollar, den Sie heute nicht ausgeben, wächst mit der Rate $r$ und wird morgen verfügbar. Wenn die Zinssätze steigen, neigt sich die Linie: Die Auszahlung für das Warten steigt, was Sparen attraktiver macht. Der Einkommenspunkt des Haushalts liegt immer auf dieser Linie, und er wählt die beste Konsummischung entlang dieser Linie.
Die Bedingungen erster Ordnung sind: $u'(c_1) = \lambda$ und $\beta \, u'(c_2) = \lambda/(1+r)$. Division eliminiert den Multiplikator $\lambda$:
Was das besagt: Die Lagrange-Funktion ist nur ein Buchführungsinstrument. Sie kombiniert das Ziel des Haushalts (Nutzen aus Konsum maximieren) mit der Nebenbedingung (man kann nicht mehr ausgeben als man verdient). Der Multiplikator λ misst, wie viel zusätzlicher Nutzen ein weiterer Dollar Lebenszeit-Vermögen bringen würde.
Warum das wichtig ist: Die Aufstellung der Lagrange-Funktion ist der Weg, auf dem Ökonomen die Euler-Gleichung ableiten, das entscheidende Ergebnis, das folgt. Der Multiplikator λ hat auch eine direkte Interpretation: Er ist der Schattenpreis des Vermögens und gibt an, wie viel ein Haushalt einen kleinen unerwarteten Geldsegen wertschätzen würde.
Was sich ändert: Wenn Zinssätze steigen, fällt lambda, weil jeder Vermögensdollar mehr zukünftigen Konsum kauft und der Grenzwert des Vermögens sinkt. Wenn der Haushalt ungeduldiger wird (niedrigeres beta), steigt lambda, weil Vermögen wertvoller ist — man möchte es schneller ausgeben.
Im vollständigen Modus zeigt Gl. 9.2 die Lagrange-Funktion und die Bedingungen erster Ordnung, die zur Euler-Gleichung führen.Was das besagt: Im Optimum ist der Haushalt genau indifferent zwischen dem Konsum eines weiteren Dollars heute und dem Sparen desselben. Sparen bringt Zinsen (1+r), aber die Zukunft wird mit dem Ungeduldfaktor diskontiert. Der Haushalt balanciert diese Kräfte, bis der Grenznutzen des heutigen Konsums gleich dem Grenznutzen des Wartens ist.
Warum das wichtig ist: Die Euler-Gleichung ist die wichtigste Gleichung der modernen Makroökonomie. Sie bestimmt das Konsumtiming: Wenn Zinssätze steigen, verschieben Haushalte Ausgaben in die Zukunft. Wenn sie geduldiger werden (höheres β), sparen sie heute mehr. Jedes moderne Makromodell, von DSGE bis Neu-Keynesianisch, baut auf dieser Bedingung auf.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Dies ist eine der wichtigsten Gleichungen der Makroökonomik. Sie besagt: Im Optimum ist der Haushalt indifferent zwischen dem Konsum einer weiteren Einheit heute und dem Sparen dieser Einheit, dem Verdienen der Zinsen $1+r$ und dem Konsum von $1+r$ Einheiten morgen. Wenn $\beta(1+r) > 1$, verlagert der Haushalt den Konsum in die Zukunft: $c_2 > c_1$. Wenn $\beta(1+r) < 1$, zieht der Haushalt den Konsum vor: $c_1 > c_2$.
Die in der Makroökonomik am häufigsten verwendete Nutzenfunktion ist die Familie der konstanten relativen Risikoaversion (CRRA): $u(c) = \frac{c^{1-\sigma} - 1}{1-\sigma}$ für $\sigma > 0, \sigma \neq 1$, und $u(c) = \ln c$ für $\sigma = 1$. Hier ist $\sigma$ der Koeffizient der relativen Risikoaversion, und $1/\sigma$ ist die intertemporale Substitutionselastizität (IES). Mit CRRA-Nutzenfunktion wird die Euler-Gleichung zu:
Was das besagt: Mit CRRA-Präferenzen hängt das Verhältnis von künftigem zu heutigem Konsum vom Zinssatz und der Ungeduld ab. Der Parameter σ bestimmt, wie bereit Haushalte sind, Konsum über die Zeit zu verschieben. Hohes sigma bedeutet, dass sie starke Glättungspräferenzen haben und kaum auf Zinssatzänderungen reagieren.
Warum das wichtig ist: Diese einzelne Gleichung bestimmt, ob eine Zinserhöhung Haushalte zu mehr Sparen (Substitutionseffekt) oder mehr Ausgaben (Einkommenseffekt) veranlasst. Die Antwort hängt von σ ab, weshalb es einer der meistdiskutierten Parameter in der Makroökonomie ist.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Für $\sigma = 1$ (logarithmischer Nutzen) gilt $c_2/c_1 = \beta(1+r)$. Ein höherer Zinssatz erhöht die Konsumwachstumsrate, wobei die Elastizität durch $1/\sigma$ bestimmt wird.
Das Zwei-Perioden-Modell liefert die PIH als Theorem. Mit logarithmischem Nutzen und $\beta(1+r) = 1$, also $c_1 = c_2 = c$, ergibt die Budgetbeschränkung $c = \frac{1+r}{2+r}(y_1 + y_2/(1+r))$. Ein vorübergehender Einkommensanstieg erhöht den Konsum nur um etwa die Hälfte des Zugewinns; ein permanenter Anstieg erhöht ihn nahezu eins zu eins.
Die Euler-Gleichung setzt freie Kreditaufnahme zum Zinssatz $r$ voraus. Wenn Kreditbeschränkungen binden ($c_1 \leq y_1$), folgt der Konsum dem laufenden Einkommen und die marginale Konsumneigung bei vorübergehendem Einkommen nähert sich eins, genau die keynesianische Konsumfunktion. Dies erklärt, warum das keynesianische Modell für liquiditätsbeschränkte Haushalte funktioniert (etwa 30–50 % der Bevölkerung).
Abbildung 9.1. Zwei-Perioden-Konsummodell. Die Budgetbeschränkung dreht sich um den Ausstattungspunkt, wenn sich der Zinssatz ändert. Das optimale Bündel erfüllt die Euler-Gleichung.
Betrachten Sie einen Haushalt mit logarithmischem Nutzen $u(c) = \ln c$, Einkommen $y_1 = 100$, $y_2 = 50$, realem Zinssatz $r = 0{,}10$ und Diskontfaktor $\beta = 0{,}95$.
Schritt 1: Lagrange-Funktion. $\mathcal{L} = \ln c_1 + 0{,}95 \ln c_2 + \lambda[100 + 50/1{,}10 - c_1 - c_2/1{,}10]$. Lebensvermögen: $W = 100 + 45{,}45 = 145{,}45$.
Schritt 2: Euler-Gleichung. Mit logarithmischem Nutzen, $u'(c) = 1/c$, also $c_2/c_1 = \beta(1+r) = 0{,}95 \times 1{,}10 = 1{,}045$.
Schritt 3: Lösung. $c_2 = 1{,}045\,c_1$. Budgetbeschränkung: $c_1 + 1{,}045\,c_1/1{,}10 = 145{,}45 \implies 1{,}950\,c_1 = 145{,}45 \implies c_1^* = 74{,}59$, $c_2^* = 77{,}95$.
Schritt 4: Überprüfung. Budget: \$14{,}59 + 77{,}95/1{,}10 = 145{,}45$. ✓ Euler: \$17{,}95/74{,}59 = 1{,}045 = \beta(1+r)$. ✓
Schritt 5: Ersparnis. $s = y_1 - c_1^* = 100 - 74{,}59 = 25{,}41$. Der Haushalt spart, weil das laufende Einkommen das Konsumglättungsniveau übersteigt.
Schritt 6: Komparative Statik. Wenn $r$ auf 0{,}20 steigt, dann $\beta(1+r) = 1{,}14$, also $c_2/c_1 = 1{,}14$. Der höhere Zinssatz verlagert den Konsum in die Zukunft. Bei logarithmischem Nutzen (IES $= 1$) dominiert der Substitutionseffekt und $c_1$ sinkt.
Die IS-Kurve in Kapitel 8 war $Y = A - br$: Die aktuelle Produktion hängt von den autonomen Ausgaben $A$ und dem Zinssatz $r$ ab, ohne Rolle für Erwartungen über die Zukunft. Die Euler-Gleichung ändert dies. Wir verallgemeinern das Zwei-Perioden-Modell auf viele Perioden und log-linearisieren. Mit CRRA-Nutzenfunktion und Parameter $\sigma$, mit $\hat{c}_t = \ln c_t - \ln \bar{c}$ und $\rho = 1/\beta - 1$:
Was das besagt: Der aktuelle Konsum hängt vom erwarteten zukünftigen Konsum und der Differenz zwischen Zinssatz und der Ungeduldsrate des Haushalts ab. Wenn der Zinssatz die Ungeduld übersteigt, verschieben Haushalte Konsum in die Zukunft (Konsum wächst über die Zeit).
Warum das wichtig ist: Diese log-linearisierte Form ist der Baustein der neu-keynesianischen IS-Kurve. Sie rückt Erwartungen in den Mittelpunkt: Wenn Haushalte bessere Zeiten in der Zukunft erwarten, geben sie heute mehr aus. Dieses vorausschauende Verhalten unterscheidet die moderne Makroökonomie vom keynesianischen Kreuz.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.In einer geschlossenen Volkswirtschaft mit $Y_t = C_t$, bei Definition der Produktionslücke $x_t = \hat{y}_t - \hat{y}_t^n$ und des natürlichen Zinssatzes $r^n$:
Was das besagt: Der heutige Produktionsspalt hängt vom erwarteten künftigen Produktionsspalt und dem realen Zinssatz relativ zu seinem natürlichen Niveau ab. Wenn die Zentralbank die Zinssätze über das natürliche Niveau setzt, dämpft sie die aktuelle Nachfrage; setzt sie sie darunter, stimuliert sie die Nachfrage.
Warum das wichtig ist: Im Gegensatz zur IS-Kurve aus Kapitel 8 ist diese vorausschauend. Erwartungen über die Zukunft beeinflussen direkt die heutigen Ausgaben. Ein glaubwürdiges Versprechen zukünftiger Konjunkturprogramme erhöht die Produktion heute, noch bevor die Maßnahmen einsetzen. Deshalb sind Zentralbankkommunikation und Forward Guidance wichtig.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Dies unterscheidet sich grundlegend von der IS-Kurve aus Kapitel 8: (1) Erwartungen spielen eine Rolle. $E_t x_{t+1}$ bedeutet, dass die aktuelle Produktion davon abhängt, was Haushalte über die Zukunft erwarten. (2) Der reale Zinssatz ist der Ex-ante-Zinssatz $i_t - E_t \pi_{t+1}$. (3) Die Steigung hängt von $\sigma$ ab. Ein größeres $\sigma$ macht die IS-Kurve steiler.
Abbildung 9.2. Mikrofundierte vs. Lehrbuch-IS-Kurve. Die Lehrbuch-IS reagiert nicht auf die erwartete zukünftige Produktion; die mikrofundierte IS verschiebt sich mit den Erwartungen.
Ausgehend von der vorausschauenden IS (Gl. 9.6), angenommen $\sigma = 1$, $E_t \pi_{t+1} = 2\%$, $r^n = 3\%$ und $E_t x_{t+1} = 0$. Dann: $x_t = -(i_t - 0{,}05)$.
Wenn $i_t = 0{,}07$: $x_t = -0{,}02$ (Produktion 2 % unter Potenzial). Wenn $i_t = 0{,}03$: $x_t = 0{,}02$ (Produktion 2 % über Potenzial). Dies sieht aus wie die Lehrbuch-IS.
Nun ändern wir die Erwartungen. Angenommen $E_t x_{t+1} = 0{,}03$ (glaubwürdige zukünftige fiskalische Expansion). Dann: $x_t = 0{,}03 - (i_t - 0{,}05)$. Bei $i_t = 0{,}07$: $x_t = 0{,}01$ (Produktion jetzt über Potenzial). Die Erwartung zukünftigen Wohlstands stimuliert die aktuelle Nachfrage. Die Lehrbuch-IS erfasst diesen Kanal nicht.
Kapitel 8 nahm an, dass Investitionen eine fallende Funktion des Zinssatzes sind: $I = I_0 - br$. Eine mikrofundierte Theorie muss erklären, warum Unternehmen investieren, wie viel und wie schnell sie ihren Kapitalstock anpassen.
Was das besagt: Eine Maschine ein Quartal lang zu besitzen kostet die entgangenen Zinsen (man hätte das Geld anderweitig investieren können) plus die Abschreibung (die Maschine verschleißt). Ein Unternehmen investiert weiter, bis der Ertrag der Maschine gerade diese Nutzungskosten deckt.
Warum das wichtig ist: Dies erklärt, warum hohe Zinssätze Investitionen abwürgen: Sie erhöhen die Hürdenrate, die neue Projekte übertreffen müssen. Steuerpolitische Maßnahmen wie beschleunigte Abschreibung oder Investitionssteuergutschriften wirken, indem sie die effektiven Nutzungskosten verringern.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Das Unternehmen investiert, bis das Grenzprodukt des Kapitals den Kapitalnutzungskosten entspricht: $MPK = uc$. Aber dies sagt nichts über die Anpassungsgeschwindigkeit. In der reibungslosen Welt springt das Unternehmen sofort zum gewünschten Bestand, was kontrafaktisch ist.
Was das besagt: Tobins q vergleicht die Börsenbewertung des Kapitals eines Unternehmens mit den Kosten, dieses Kapital neu zu kaufen. Übersteigt q den Wert 1, bewertet der Markt bestehendes Kapital höher als die Wiederbeschaffungskosten, es lohnt sich also, mehr zu bauen. Liegt q unter 1, ist es günstiger, bestehende Unternehmen zu kaufen als neue Kapazitäten aufzubauen.
Warum das wichtig ist: Dies verbindet die Finanzmärkte mit der Realwirtschaft. Ein Börsenboom erhöht q und regt reale Investitionen an. Ein Crash senkt q und lähmt Kapitalausgaben. Man kann Investitionssignale buchstäblich aus Aktienkursen ablesen.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Bei konvexen Anpassungskosten ergibt die Bedingung erster Ordnung:
Was das besagt: Investitionen sind proportional dazu, wie weit q den Wert 1 übersteigt, aber Anpassungskosten verlangsamen die Reaktion. Je höher der Anpassungskostenparameter φ, desto langsamer reagieren Unternehmen auf Investitionsmöglichkeiten. Dies erklärt, warum Investitionen träge auf Neuigkeiten reagieren.
Warum das wichtig ist: Ohne Anpassungskosten würden Unternehmen sofort zum optimalen Kapitalstock springen, was unrealistisch ist. Konvexe Kosten bedeuten, dass Unternehmen Investitionen über die Zeit strecken, was die glatten, glockenförmigen Investitionsreaktionen erzeugt, die man in den Daten beobachtet.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Die Investitionsrate ist linear in $q$, mit Steigung $1/\phi$. Wenn $q = 1$, sind die Investitionen genau null. Ein Börsenboom erhöht $q$ und löst höhere Investitionen aus; ein Crash senkt $q$ und drückt die Investitionen.
Abbildung 9.3. Tobins q und Investitionen. Die Investitionsrate ist linear in q; die Anpassungskosten sind konvex.
Ein Unternehmen hat $K = 100$, $p_K = 1$, Marktwert $V = 130$, Anpassungskosten $\phi = 5$.
Schritt 1: $q = V/(p_K \cdot K) = 130/100 = 1{,}30$.
Schritt 2: $I/K = (q-1)/\phi = 0{,}30/5 = 0{,}06$. Geplante Investitionen: $I = 6$.
Schritt 3: Anpassungskosten: $C(I) = (5/2)(0{,}06)^2 \times 100 = 0{,}90$. Gesamtkosten: \$1 + 0{,}90 = 6{,}90$.
Schritt 4: Börsenboom. $V \to 160 \Rightarrow q = 1{,}60$, $I/K = 0{,}12$, $I = 12$. Anpassungskosten: \$1{,}60$ — eine Vervierfachung (Konvexität). Investitionen reagieren wegen konvexer Kosten schrittweise auf Neuigkeiten.
Kapitel 8 hat das Solow-Modell auf algebraischem Niveau eingeführt. Hier geben wir die vollständige analytische Behandlung: Differentialgleichungen, Phasendiagramme und Goldene-Regel-Optimierung.
Angenommen Cobb-Douglas $Y = K^\alpha (AL)^{1-\alpha}$, mit $A$ wachsend mit Rate $g$, $L$ mit Rate $n$. Definiere $k = K/(AL)$ und $y = Y/(AL)$:
Was das besagt: Die Volkswirtschaft spart den Anteil s der Produktion und verwendet ihn, um neues Kapital aufzubauen. Das Kapital pro Arbeiter erodiert jedoch über die Zeit, wenn Maschinen verschleißen (Abschreibung), die Bevölkerung wächst (mehr Arbeiter müssen ausgerüstet werden) und Technologie fortschreitet (die Messlatte für Kapital pro Effizienzarbeiter steigt). Die Volkswirtschaft wächst, wenn die Ersparnisse die Erosion übersteigen, und schrumpft, wenn das nicht der Fall ist.
Warum das wichtig ist: Diese Differentialgleichung ist der Motor des Solow-Modells. Sie zeigt, dass die Volkswirtschaft immer zu einem stationären Zustand konvergiert, wo Ersparnisse die Erosion genau ausgleichen. Länder unterhalb des stationären Zustands wachsen schnell; Länder in seiner Nähe wachsen langsam. Dies ist bedingte Konvergenz, die am meisten testbare Vorhersage der Wachstumsökonomie.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Setze $\dot{k} = 0$:
Was das besagt: Der stationäre Kapitalstock hängt davon ab, wie viel die Volkswirtschaft spart (s) relativ dazu, wie schnell Kapital erodiert (n + g + δ). Länder, die mehr sparen oder ein langsameres Bevölkerungswachstum haben, sind im stationären Zustand reicher.
Warum das wichtig ist: Dies ist die Antwort des Solow-Modells auf die Frage, warum manche Länder reich und andere arm sind. Aber die Antwort ist unvollständig. Kalibrierte Versionen können Einkommensunterschiede durch Kapital allein nur um einen Faktor von 2-3 erklären, während die tatsächliche Lücke zwischen reichen und armen Ländern mehr als 50-fach beträgt. Der Rest muss auf Technologie und Institutionen zurückgehen.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Abbildung 9.4. Solow-Phasendiagramm. Der Steady State k* ist global stabil: Pfeile zeigen von beiden Seiten auf ihn.
Grafik lesen: Das obere Panel zeigt zwei Kurven. Die blaue Kurve (sf(k)) stellt dar, wie viel die Wirtschaft bei jedem Niveau des Kapitals pro Arbeiter spart und investiert, zunächst steil ansteigend, dann aufgrund abnehmender Erträge abflachend. Die orange Linie ((n+g+delta)k) zeigt, wie viel Investition nötig ist, um ein Absinken des Kapitals pro Arbeiter zu verhindern, unter Berücksichtigung von Abschreibung, Bevölkerungswachstum und technischem Fortschritt. Wo sich diese beiden Linien kreuzen, liegt der Steady State: Die Wirtschaft gravitiert natürlich dorthin. Das untere Panel zeigt die Änderungsrate: positiv unterhalb von k* (Kapital wächst) und negativ oberhalb von k* (Kapital schrumpft), was bestätigt, dass der Steady State stabil ist. Verschieben Sie den Sparquoten-Regler, um zu sehen, wie eine höhere Sparquote die blaue Kurve nach oben verschiebt und den Steady State nach rechts bewegt.
Welche Sparquote maximiert den Steady-State-Konsum? $c^*(s) = (1-s)(s/(n+g+\delta))^{\alpha/(1-\alpha)}$. Bei der Goldenen Regel:
Welche Sparquote maximiert den langfristigen Konsum? Es gibt einen Zielkonflikt: Mehr zu sparen hebt den Kapitalstock und die Produktion, lässt aber weniger dieser Produktion für den Konsum übrig. Die Goldene Regel findet den optimalen Punkt:
Was das besagt: Es gibt eine „gerade richtige" Sparquote, die den langfristigen Konsum maximiert. Zu wenig zu sparen bedeutet, zu wenig Kapital aufzubauen. Zu viel zu sparen bedeutet, Ressourcen in Kapital zu stecken, dessen abnehmende Erträge den Verzicht nicht rechtfertigen. Der Optimalwert entspricht dem Kapitalanteil an der Produktion (α).
Warum das wichtig ist: Spart ein Land mehr als die goldene Regel, ist es dynamisch ineffizient: Alle könnten in jeder Periode mehr konsumieren, indem sie weniger sparen. Die meisten realen Volkswirtschaften scheinen unterhalb der goldenen Regel zu sparen, was bedeutet, dass höheres Sparen den künftigen Konsum erhöhen würde, aber auf Kosten geringeren Konsums während des Übergangs.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Was das besagt: Die Volkswirtschaft schließt den Abstand zu ihrem stationären Zustand mit einer Rate von etwa 5-6 % pro Jahr, was eine Halbwertszeit von ungefähr 12 Jahren impliziert. Ein Land, das mit der Hälfte seines stationären Kapitalstocks beginnt, wird in etwa 12 Jahren auf halbem Weg zum stationären Zustand sein.
Warum das wichtig ist: Dies sagt bedingte Konvergenz voraus: Arme Länder (relativ zu ihrem eigenen stationären Zustand) sollten schneller wachsen als reiche. Die Vorhersage passt ziemlich gut zu Querschnittsdaten, wenn man Sparquoten, Bevölkerungswachstum und Bildung kontrolliert. Aber das Tempo ist so langsam, dass Konvergenz Jahrzehnte dauert, nicht Jahre.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Die Halbwertszeit beträgt $t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$. Für $\alpha = 1/3$, $n = 0{,}02$, $g = 0{,}015$, $\delta = 0{,}05$: $\lambda = 0{,}0567$, $t_{1/2} \approx 12{,}2$ Jahre.
Bei typischen Parameterwerten schließt die Wirtschaft jedes Jahr etwa 5–6 % der verbleibenden Lücke zum langfristigen Gleichgewicht. Das bedeutet, die Halbwertszeit beträgt etwa 12 Jahre: Ein Land, das auf halbem Weg zu seinem langfristigen Gleichgewicht startet, wird in etwa einem Jahrzehnt die Hälfte der verbleibenden Strecke zurücklegen.
Abbildung 9.5. Solow — Goldene Regel. Der Steady-State-Konsum wird bei $s = \alpha$ maximiert.
Parameter: $\alpha = 1/3$, $n = 0{,}02$, $g = 0{,}015$, $\delta = 0{,}05$. Break-even: $n+g+\delta = 0{,}085$.
Schritt 1: $k^*(s) = (s/0{,}085)^{3/2}$.
Schritt 2: Goldene Regel. $s_g = \alpha = 1/3$. Dann $k_g = (0{,}333/0{,}085)^{1{,}5} = 7{,}76$, $y_g = 1{,}98$, $c_g = 1{,}32$.
Schritt 3: Kaelani mit $s = 0{,}15$. $k^* = (0{,}15/0{,}085)^{1{,}5} = 2{,}35$, $y^* = 1{,}33$, $c^* = 1{,}13$.
Schritt 4: Da $s = 0{,}15 < s_g = 0{,}333$, ist Kaelani dynamisch effizient, aber weit unter der Goldenen Regel. Der Konsum könnte um 17 % steigen, wenn die Sparquote erhöht würde, auf Kosten eines geringeren Konsums während der Übergangsphase.
Die entscheidende Friedman-Phelps-Einsicht: Die Phillips-Kurve muss die erwartete Inflation berücksichtigen:
Was das besagt: Inflation entspricht der erwarteten Inflation plus einem Impuls durch die Produktionslücke plus Angebotsschocks. Wenn die Volkswirtschaft auf Hochtouren läuft (Produktion über dem Potenzial), steigt die Inflation über die Erwartungen. Läuft sie auf niedrigem Touren, fällt die Inflation unter die Erwartungen.
Warum das wichtig ist: Die Friedman-Phelps-Revolution: Es gibt keinen dauerhaften Zielkonflikt zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit. Man kann die Arbeitslosigkeit vorübergehend senken, indem man unerwartete Inflation erzeugt, aber sobald Erwartungen sich anpassen, ist man wieder bei der natürlichen Rate – mit höherer Inflation. Der einzige Weg, die Arbeitslosigkeit dauerhaft unter der natürlichen Rate zu halten, ist beschleunigende Inflation, ein nicht nachhaltiger Pfad.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Substitution ergibt: $\Delta \pi_t = \alpha (Y_t - Y^*)/Y^* + \varepsilon_t$.
Wenn Menschen erwarten, dass die Inflation der Rate der letzten Periode entspricht, vereinfacht sich die Phillips-Kurve: Was zählt, ist die Veränderung der Inflation, nicht ihr Niveau. Die Wirtschaft heißlaufen zu lassen verursacht nicht nur Inflation, es lässt die Inflation beschleunigen.
Was das besagt: Bei adaptiven Erwartungen hängt die Veränderung der Inflation (nicht ihr Niveau) von der Produktionslücke ab. Die Produktion über dem Potenzial zu halten verursacht nicht nur Inflation, es verursacht beschleunigende Inflation, wobei die Inflation jeder Periode höher ist als die der vorigen.
Warum das wichtig ist: Dies ist die Akzelerationshypothese. Sie impliziert, dass die langfristige Phillips-Kurve vertikal ist: Das einzige Produktionsniveau, das mit stabiler Inflation vereinbar ist, ist das Potenzialoutput. Politisch Verantwortliche können keine dauerhaft niedrigere Arbeitslosigkeit durch dauerhaft höhere (aber stabile) Inflation erkaufen.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Auf lange Sicht erfordert $\Delta \pi = 0$, dass $Y = Y^*$: Die langfristige Phillips-Kurve ist vertikal bei der natürlichen Rate. Es gibt keinen langfristigen Zielkonflikt zwischen Inflation und Produktion.
Bei rationalen Erwartungen mit voller Glaubwürdigkeit kann eine Disinflation kostenlos sein: Die Opferquote ist null. Bei adaptiven Erwartungen ist sie hoch. Die Volcker-Disinflation (1979–1983) hatte eine Opferquote von etwa 2,5, konsistent mit teilweise vorausschauenden, überwiegend rückwärtsgerichteten Erwartungen.
Abbildung 9.8. Erwartungsaugmentierte Phillips-Kurve. Die kurzfristige Phillips-Kurve verschiebt sich mit der erwarteten Inflation; die langfristige Kurve ist vertikal.
Volkswirtschaft bei $\pi = 8\%$, Ziel $\pi = 2\%$. Phillips-Steigung $\alpha = 0{,}5$.
Adaptive Erwartungen. $\pi^e_t = \pi_{t-1}$. Um die Inflation um 1 Pp./Jahr zu senken: $-0{,}01 = 0{,}5 \cdot x_t \Rightarrow x_t = -0{,}02$. Sechs Jahre bei 2 % unter Potenzial. Kumulierter Verlust: 12 % des BIP. Opferquote: \$12/6 = 2{,}0$.
Rationale Erwartungen mit Glaubwürdigkeit. $\pi^e$ springt auf 2 %. Mit $x_t = 0$: $\pi_t = 2\%$. Kostenlose Disinflation. Opferquote: 0.
Realität (Volcker, 1979–83): ~4 Jahre, Opferquote $\approx 2{,}5$. Teilweise vorausschauend (etwas Glaubwürdigkeit), überwiegend rückwärtsgerichtet (Trägheit bei Löhnen und Verträgen).
Was das besagt: In einer offenen Volkswirtschaft gewinnt IS-LM zwei neue Kanäle: Der Wechselkurs beeinflusst die Nettoexporte (Handelskanal), und Zinsdifferentiale treiben Kapitalströme an (Finanzkanal). Die Zahlungsbilanz erfordert, dass Handelsdefizite durch Kapitalzuflüsse finanziert werden, und umgekehrt.
Warum das wichtig ist: Dies ist das Mundell-Fleming-Modell, das Standardmodell für die offene Wirtschaftspolitik. Es zeigt, dass die Wirksamkeit von Fiskal- oder Geldpolitik vollständig vom Wechselkursregime abhängt. Bei festen Wechselkursen wirkt Fiskalpolitik, Geldpolitik ist wirkungslos. Bei flexiblen Wechselkursen gilt das Umgekehrte.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Fiskalpolitik ist wirksam: IS verschiebt sich nach rechts → $r$ tendiert über $r^*$ → Kapitalzuflüsse → Zentralbank verkauft heimische Währung → LM verschiebt sich endogen nach rechts → $Y$ steigt.
Fiscal policy is effective: With the exchange rate pegged, the central bank has to print or absorb money to hold the peg. So when a fiscal push starts to lift interest rates, the money supply gets pulled along to keep the rate at the world level. Fiscal policy rides a free monetary tailwind.
Geldpolitik ist unwirksam: LM verschiebt sich nach rechts → $r$ fällt unter $r^*$ → Kapitalabflüsse → Zentralbank kauft heimische Währung → LM verschiebt sich zurück. Keine Änderung von $Y$.
Monetary policy is ineffective: Try to cut rates and money floods out chasing the higher world rate. Defending the peg forces the central bank to buy all that money back. You end up exactly where you started — the peg eats your monetary policy.
Fiskalpolitik ist unwirksam: IS verschiebt sich nach rechts → $r$ tendiert über $r^*$ → Kapitalzuflüsse → Währung wertet auf → NX sinkt → IS verschiebt sich zurück. Keine Änderung von $Y$.
Fiscal policy is ineffective: There is no peg to defend, so the capital chasing higher rates pushes the currency up instead. The strong currency makes exports dear and kills net exports, cancelling the fiscal boost. Here the exchange rate does the crowding-out that interest rates do in a closed economy.
Geldpolitik ist wirksam: LM verschiebt sich nach rechts → $r$ fällt unter $r^*$ → Kapitalabflüsse → Währung wertet ab → NX steigt → IS verschiebt sich nach rechts → $Y$ steigt.
Monetary policy is effective: A rate cut weakens the currency; exports get cheaper abroad, demand rises, and output climbs. Monetary policy works precisely through the exchange rate channel that the peg shut off.
Abbildung 9.6. Mundell-Fleming-Modell. Fiskalpolitik ist wirksam bei festen Wechselkursen; Geldpolitik ist wirksam bei flexiblen Kursen.
Abbildung 9.7. Das Trilemma. Ein Land muss zwei von drei wählen: freien Kapitalverkehr, festen Wechselkurs, unabhängige Geldpolitik.
Teil A. Fester Wechselkurs. Kaelani bindet an den TAD, $r_K = r^* = 5\%$. Fiskalische Expansion $\Delta G = 0{,}5$ Mrd. KD.
Mechanismus: IS verschiebt sich nach rechts → $r$ tendiert über $r^*$ → Kapitalzuflüsse → Zentralbank verkauft KD/kauft TAD → Geldmenge expandiert (LM verschiebt sich nach rechts) → $Y$ steigt auf ~12,5 Mrd. KD. Fiskalpolitik wirksam.
Teil B. Flexibler Wechselkurs. Gleiche fiskalische Expansion.
Mechanismus: IS verschiebt sich nach rechts → $r$-Druck → Kapitalzuflüsse → KD wertet auf → NX sinkt → IS verschiebt sich zurück. $Y$ ändert sich kaum. Fiskalpolitik unwirksam: verdrängt über den Wechselkurs.
Lektion: Unter der Bindung hat Kaelani Fiskalpolitik, aber keine Geldpolitik. Das Trilemma: freier Kapitalverkehr + fester Kurs = keine unabhängige Geldpolitik.
Die erwartungsaugmentierte Phillips-Kurve nimmt eine direkte Beziehung zwischen Produktionslücke und Inflation an, ohne zu erklären, warum. Damit die Inflation träge reagiert, brauchen wir zwei Zutaten: Unternehmen, die Preise setzen (Marktmacht), und einen Grund, warum sie nicht ständig anpassen (Starrheit).
Jedes Unternehmen steht einer fallenden Nachfragekurve gegenüber und setzt seinen Preis als Aufschlag $\mu = \varepsilon/(\varepsilon - 1)$ über den Grenzkosten, wobei $\varepsilon$ die Dixit-Stiglitz-Substitutionselastizität ist.
Jede Firma hat etwas Marktmacht (ihr Produkt ist leicht anders als das der Konkurrenten), sodass sie einen Aufschlag über ihre Produktionskosten verlangen kann. Je weniger substituierbar die Produkte sind, desto höher der Aufschlag, den Firmen halten können.
In jeder Periode passen $(1 - \theta)$ der Unternehmen ihre Preise an, während der Anteil $\theta$ unverändert bleibt. Bei $\theta = 0{,}75$ beträgt die durchschnittliche Preisdauer 4 Quartale. Der optimale Neupreis:
Each period, only a slice of firms get to repost their prices — like a row of restaurants that reprint their menus on a random schedule rather than all at once. A firm that does reset cannot wait for the next chance, so it prices for where it expects costs to be over the whole stretch until its turn comes round again. That staggering is what makes the overall price level move slowly.
Was das besagt: Die heutige Inflation hängt von der erwarteten zukünftigen Inflation und der aktuellen Produktionslücke ab. Unternehmen, die Preise neu setzen dürfen, schauen voraus: Sie setzen Preise basierend darauf, wohin sie Kosten erwarten, nicht wohin sie waren. Der Steigungsparameter kappa misst, wie sensitiv Inflation auf Nachfragedruck reagiert.
Warum das wichtig ist: Dies ist der mikrofundierte Ersatz für die rückwärtsgerichtete Phillips-Kurve. Da sie vorausschauend ist, reduziert ein glaubwürdiges Bekenntnis zu niedriger zukünftiger Inflation die Inflation heute, sofort. Deshalb spielt die Glaubwürdigkeit der Zentralbank eine Rolle: Ein vertrauenswürdiges Inflationsziel verankert Erwartungen und flacht den kurzfristigen Zielkonflikt ab. Das vollständige NK-Modell (Kapitel 15) baut auf dieser Gleichung auf.
Wechseln Sie in den vollständigen Modus, um die Herleitung zu sehen.Der Parameter $\kappa = \frac{(1-\theta)(1-\beta\theta)}{\theta} \cdot \gamma$ hängt von der Preisstarrheit $\theta$, dem Diskontfaktor $\beta$ und der Sensitivität der Grenzkosten gegenüber der Produktionslücke $\gamma$ ab. Wenn $\theta$ groß ist, ist $\kappa$ klein, und die Inflation reagiert schwach auf die Produktionslücke.
Die Steigung der Phillips-Kurve hängt davon ab, wie starr die Preise sind. Wenn Firmen selten Preise ändern können (hohe Starrheit), reagiert Inflation schwach auf Nachfragedruck: Selbst eine boomende Wirtschaft bewegt die Inflation kaum. Wenn Firmen Preise häufig anpassen, reagiert Inflation scharf auf die Produktionslücke.
Die NKPC unterscheidet sich grundlegend von der rückwärtsgerichteten Phillips-Kurve: Die Inflation hängt von der erwarteten zukünftigen Inflation ab, nicht von der vergangenen Inflation. Eine glaubwürdige Verpflichtung zu niedriger zukünftiger Inflation senkt $\pi_t$ sofort. Das vollständige Drei-Gleichungs-NK-Modell wird in Kapitel 15 behandelt.
Die Republik Kaelani (Bevölkerung 5 Millionen, BIP ≈ 10 Milliarden KD aus Kapitel 5, IS-LM-Ausgangslage aus Kapitel 8) steht vor zwei verflochtenen Herausforderungen: der Wahl eines Wechselkursregimes und der Steigerung des langfristigen Wachstums, um die Lücke zum Nachbarn Talani zu schließen.
Wechselkursregime (Mundell-Fleming). Kaelani hält eine feste Bindung an den Talani-Dollar (TAD) mit freier Kapitalmobilität ($r_K = r_T = 5\%$). Die Regierung plant eine fiskalische Expansion von $\Delta G = 0{,}5$ Mrd. KD. Unter dem festen Kurs prognostiziert Mundell-Fleming, dass die Expansion wirksam ist: IS verschiebt sich nach rechts, Kapitalzuflüsse lassen LM endogen nach rechts wandern, $Y$ steigt auf ~12,5 Mrd. KD. Bei einem flexiblen Kurs würde dieselbe Expansion durch Währungsaufwertung neutralisiert.
Der Zentralbankgouverneur bemerkt: „Unter der Bindung haben wir Fiskalpolitik, aber keine Geldpolitik. Wenn wir die Zinsen unabhängig senken wollten — etwa während einer Rezession, die Talani nicht trifft — könnten wir nicht.“ Dies ist das Trilemma: freier Kapitalverkehr + fester Kurs = keine unabhängige Geldpolitik.
Langfristiges Wachstum (Solow mit Analysis). Beide Volkswirtschaften: $\alpha = 1/3$, $n = 0{,}02$, $g = 0{,}015$, $\delta = 0{,}05$. Kaelani ($s = 0{,}15$): $k^* = 2{,}35$, $y^* = 1{,}33$. Talani ($s = 0{,}25$): $k^* = 5{,}04$, $y^* = 1{,}71$. Vorhergesagtes Einkommensverhältnis: \$1{,}78$. Beobachtet: \$1{,}50$. Die Lücke ist größer als Solow vorhersagt: TFP-Unterschiede (Institutionen, Humankapital) spielen eine Rolle, was auf die Kapitel 13 und 18 vorausweist.
Kaelani ist dynamisch effizient ($s = 0{,}15 < s_g = 0{,}333$), aber weit unter der Goldenen Regel. Konvergenzgeschwindigkeit: $\lambda = 0{,}0567$, Halbwertszeit $\approx 12{,}2$ Jahre.
Mikrofundierter Konsum. Ein Kaelani-Haushalt verdient $y_1 = 2.000$ KD, erwartet $y_2 = 2.400$ KD, mit $r = 5\%$, $\beta = 0{,}95$. Die Euler-Gleichung ergibt $c_2^*/c_1^* = 0{,}9975 \approx 1$: nahezu perfekte Glättung. Der Haushalt nimmt in Periode 1 ~195 KD Kredit auf, weil er höheres zukünftiges Einkommen erwartet. Ein einmaliger Stimulus von 200 KD wird überwiegend gespart; ein permanenter Zuschuss von 200 KD/Periode wird nahezu vollständig konsumiert.
Stand am Kapitelende: Kaelanis makroökonomischer Rahmen ist nun mikrofundiert (Euler-Gleichung, Solow mit Analysis, Mundell-Fleming). Der feste Kurs beschränkt die Geldpolitik. Die Sparquote liegt unter der Goldenen Regel. Das Solow-Modell erklärt die Einkommenslücke nur teilweise. Die Erzählstränge setzen sich in Kapitel 13 (Ramsey-Wachstum), Kapitel 15 (NK-Geldpolitik) und Kapitel 18 (Institutionen) fort.
| Bezeichnung | Gleichung | Beschreibung |
|---|---|---|
| Gl. 9.1 | $c_1 + \frac{c_2}{1+r} = y_1 + \frac{y_2}{1+r}$ | Intertemporale Budgetbeschränkung |
| Gl. 9.2 | $\mathcal{L} = u(c_1) + \beta u(c_2) + \lambda[\cdots]$ | Lagrange-Funktion (Zwei-Perioden) |
| Gl. 9.3 | $u'(c_1) = \beta(1+r)\,u'(c_2)$ | Konsum-Euler-Gleichung |
| Gl. 9.4 | $(c_2/c_1)^\sigma = \beta(1+r)$ | CRRA-Euler-Gleichung |
| Gl. 9.5 | $\hat{c}_t = E_t\hat{c}_{t+1} - (1/\sigma)(r_t - \rho)$ | Log-linearisierte Euler-Gleichung |
| Gl. 9.6 | $x_t = E_tx_{t+1} - (1/\sigma)(i_t - E_t\pi_{t+1} - r^n)$ | Vorausschauende IS-Kurve |
| Gl. 9.7 | $uc = (r + \delta)p_K$ | Kapitalnutzungskosten |
| Gl. 9.8 | $q = V / (p_K \cdot K)$ | Tobins q |
| Gl. 9.9 | $I/K = (q - 1)/\phi$ | Optimale Investitionen |
| Gl. 9.10 | $y = k^\alpha$ | Produktion pro Effizienzeinheit |
| Gl. 9.11 | $\dot{k} = sk^\alpha - (n+g+\delta)k$ | Solow-Kapitalakkumulations-DGL |
| Gl. 9.12 | $k^* = [s/(n+g+\delta)]^{1/(1-\alpha)}$ | Solow-Steady-State |
| Gl. 9.13 | $f'(k_g) = n + g + \delta$ | Goldene-Regel-Bedingung |
| Gl. 9.14 | $s_g = \alpha$ | Goldene-Regel-Sparquote |
| Gl. 9.15 | $\lambda = (1-\alpha)(n+g+\delta)$ | Konvergenzgeschwindigkeit |
| Gl. 9.16 | $\pi_t = \pi^e_t + \alpha(Y_t-Y^*)/Y^* + \varepsilon_t$ | Erwartungsaugmentierte Phillips-Kurve |
| Gl. 9.17 | $\pi^e_t = \pi_{t-1}$ | Adaptive Erwartungen |
| Gl. 9.18 | $\Delta\pi_t = \alpha(Y_t-Y^*)/Y^* + \varepsilon_t$ | Akzelerationistische Phillips-Kurve |
| Gl. 9.19 | $Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$ | Offene-Volkswirtschaft-IS |
| Gl. 9.20 | $NX(e) + KA(r - r^*) = 0$ | BP-Kurve |
| Gl. 9.21 | $r = r^*$ | Vollständige Kapitalmobilität |
| Gl. 9.22 | Trilemma-Beschränkung | Trilemma |
| Gl. 9.23 | $\pi_t = \beta E_t\pi_{t+1} + \kappa x_t$ | Neukeynesianische Phillips-Kurve |
| Gl. 9.24 | $p_t^* = \mu + (1-\beta\theta)\sum(\beta\theta)^j E_t[mc_{t+j}]$ | Calvos optimaler Neupreis |
Genannte Literatur: Fisher (1930); Ramsey (1928); Friedman (1957); Hall (1978); Modigliani & Brumberg (1954); Tobin (1969); Hayashi (1982); Solow (1956); Swan (1956); Phelps (1966); Friedman (1968); Phelps (1967); Lucas (1972); Mundell (1963); Fleming (1962); Calvo (1983); Galí (2015).
In Teil IV: Ökonometrie gibt Ihnen die Werkzeuge, um die Modelle zu TESTEN. Fortgeschrittene Mikroökonomie liefert die Grundlagen für alles in Teil V.